Глава 1. Сферические функции

Сферические функции были введены в связи с изучением решений уравнения Лапласа, и в частности с теорией потенциала. В §1 мы рассматриваем полиномы Лежандра, которые используются затем для построения шаровых и сферических функций в §2. Сферические функции являются весьма мощным аппаратом для решения многих задач математической физики.

§1 Полиномы Лежандра

1.1. Производящая функция и полиномы Лежандра

Полиномы Лежандра тесно связаны с фундаментальным решением уравнения Лапласа , гдеR – расстояние от точки М до фиксированной точки М₀. Пусть r и r₀ – радиусы векторы точек М и М₀, а - угол между ними. Очевидно можно записать

(1)

при

при

,

производящая функция полиномов Лежандра.

Разложим функцию в ряд по степеням:

(2)

,

Коэффициенты в разложение (2) являются полиномамиn-й степени и называются полиномами Лежандра.

В силу теоремы Коши из формулы (2) следует, что

(3)

от , (перейдем в комплексную плоскость). Используя интегральную формулу Коши и производную

(4)

Полагая , находим,,

, (5)

где С₁- любой контур, окружающий точку x=z. Подинтегральная функция имеет особенность, а именно полюс (n+1) порядка.

,

. (6)

Из формулы (6) непосредственно видно что:

1. Получили полином степени n;

2. Полином содержит степени x той же четности, что и номер n, так что

. (7)

Просмотрим граничные условия:

x=1,

,

,

Формула (6) называется дифференциальной формулой для полиномов Лежандра или формулой Родрига. С учетом (7)

.

,

. (8)

1.2. Рекуррентные формулы

Используя производящую функцию

,

и найдем частные производные по и по:

,

, (9)

, (9а)

Запишем левую часть формулы (9) в виде степенного ряда относительно , подставив в нее ряд (3) дляи ряд

.

. (10)

,

Возьмем производную по :

m-1=n 1-a m+1=n 2-a m=1 3-a m=0 4-ая m+1=n 5-ая

m=n+1 сумма m=n-1 сумма n=m сумма m=n сумма m=n-1 сумма

n=0,1,2 n=2,3,4, n=1,2 n=0 n=1,2

Запишем коэффициенты при⁰, ¹,…, ⁿ.

, где n ≥2. (11)

Таким образом, выражение (11) представляет собой рекуррентное соотношение.

Домножим (9) на ,(10) на () и вычтем

, (12)

,

При любом m получаем m+1=n, n=1

, (13)

рекуррентная формула

, (14)

Продифференцируем по x соотношение (11):

, (15)

1.3. Уравнение Лежандра

Найдем дифференциальное уравнение, решением которого является . Для этого исключимP_n-1 и P_n-1 из (14) и (15). Подставляем (14) в (15):

,

,

,

.

Продифференцируем:

.

. (16)

Соотношение (16) представляет собой уравнения Лежандра. Тем самым доказано что полиномы Лежандра являются собственными функциями, соответствующими собственным значениям , следующей задачи.

Найти такие значения λ, для которых на отрезке существуют нетривиальное решение уравнение Лежандра

, (17)

с областью с условием . Таким образом нетривиальное решение существует при

.