Задания для самостоятельной работы

3.1. Вычислить несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования или установить их расходимость:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6);

7) ; 8); 9);

10) .

3.2. Вычислить несобственные интегралы от неограниченных функций или установить их расходимость:

1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6);

7) ; 8); 9);

10) .

Тема 4. Кратные интегралы

4.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых и

полярных координатах

Примеры решения задач

1. Вычислить двойной интеграл ,

где прямоугольник.

►ОбластьD является правильной как в направлении оси , так и оси. Тогда по формуле

(4.1)

имеем:

◄

2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

.

► Область интегрирования D ограничена линиями .

Из последних двух равенств имеем: .

Прямая разбивает областьD на области и, где

: ,

: .

Рис.6

Итак,

.◄

3. Вычислить двойной интеграл .

►.◄

4. Вычислить двойной интеграл , где область D ограничена линиями .

►Область D правильная как в направлении оси , так и в направлении оси. Для вычисления интеграла можно использовать как формулу (5.1), так и следующую формулу:

(5.2)

=.◄

5. Вычислить , где D − круг радиуса R с центром в начале координат : .

► Сделаем замену переменных: , тогда уравнениепреобразуется в. По формуле перехода к полярным координатам имеем:

.◄

Задания для самостоятельной работы

5.1. Изобразить область интегрирования и изменить порядок интегрирования в двойных интегралах:

1) ; 2) ; 3).

5.2. Вычислить двойные интегралы в областях, ограниченных указанными линиями:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

5.3. Вычислить двойные интегралы, перейдя к полярным координатам:

1) ;

2) .

4.2. Вычисление тройного интеграла в прямоугольных

координатах. Замена переменной в тройном интеграле

Примеры решения задач

1. Вычислить трехкратный интеграл .

►

.◄

2. Вычислить , если областьТ ограничена плоскостями

.

► Область Т ограничена сверху плоскостью , снизу − плоскостью , с боковых сторон − плоскостями. Изобразим эту область и ее проекциюD на плоскость :

При вычислении тройной интеграл приводится к двойному интегралу по проекции D области Т на плоскость и однократному интегралу по переменнойz, а затем последовательно вычисляется трехкратный интеграл.

.◄

3. Вычислить тройной интеграл , гдеТ − область, ограниченная сферой и параболоидом вращения.

► Уравнениеопределяет сферу с центром в начале координат и радиусомR=2, поверхность − параболоид вращения вокруг оси. Построим проекциюD области Т на плоскость :

Д

Рис. 10

ля определения областиD решим систему уравнений:

Отсюда получаем область D − круг радиуса , центр которого совпадает с началом координат, т.е.D: .

Перейдем в тройном интеграле к цилиндрическим координатам. В цилиндрических координатах уравнение сферы: или; уравнение параболоида вращения:или; уравнение окружности.

Итак, :,.

По формуле тройного интеграла в цилиндрических координатах

(5.3)

имеем:

.◄

Задания для самостоятельной работы

5.4. Вычислить данные трехкратные интегралы:

1) ; 2);

2) ; 4).

5.5. Вычислить тройные интегралы:

1) ;

2) , гдеТ − область, ограниченная плоскостью и конусом

;

3) , гдеТ − область, ограниченная гиперболическим параболоидом и плоскостямии;

4) , гдеТ − область, ограниченная плоскостями и параболоидом вращения(в первом октанте).

5.6. Вычислить данные интегралы, переходя к цилиндрическим или сферическим координатам:

1) ; 2);

3) , гдеТ − область, ограниченная цилиндром , параболоидоми плоскостью.