Задания для самостоятельной работы

2.4. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

1) ; 2);

3) ; 4).

2.5. Криволинейная трапеция, ограниченная линией и прямымии, вращается вокруг оси. Найти объем образованного тела.

2.6. Фигура, ограниченная дугами парабол и, вращается вокруг оси. Вычислить объем образованного тела.

2.7. Найти длину дуги линий:

1) ;

2) ;

3) ;

4) первого витка спирали Архимеда .

2.8. Найти работу, затраченную на выкачивание воды из цилиндрического резервуара, высота которого H=5м, радиус основания R=3м.

2.9. Найти силу давления бензина, находящегося в цилиндрическом баку высотой h=3,5м и радиуса r =1,5м, на его стенки, если кг/м³.

2.10. В жидкость с плотностью погружена круглая пластинка диаметром. Найти давление жидкости на пластинку.

Тема 3. Несобственные интегралы Примеры решения задач

1. Исследовать на сходимость интеграл:

.

►Рассмотрим случаи и.

а) ;− интеграл расходится;

б) .

Далее рассмотрим случаи и.

−интеграл расходится;

−интеграл сходится.

Итак, несобственный интеграл

◄

2. Вычислить несобственные интегралы:

а) ; б).

►а) Используем формулу Ньютона-Лейбница (см. приложение):

.

б) По формуле Ньютона-Лейбница имеем:

.◄

3. Исследовать на сходимость интегралы:

а) ; б); в).

►а) Подынтегральная функция в промежутке интегрирования меньше, чем функция, т.е.и интеграл

, т.е. сходящийся.

Тогда и интеграл по признаку сравнения также сходящийся, причем.

б) Для сравнения с подынтегральной функцией

возьмем функцию .

Имеем ,

а интеграл расходится, тогда и данный интеграл также расходится.

в) Подынтегральную функцию

сравним с функцией , т.е. рассмотрим

.

Согласно предельному признаку сравнения получаем, что, так как интеграл сходится, то данный интеграл также сходится.◄

4. Исследовать на сходимость интеграл

.

►Если , то интеграл не является несобственным.

Если , то имеем несобственный интеграл второго рода; точка− особая точка подынтегральной функции на промежутке интегрирования.

При имеем

−интеграл расходится.

При имеем

Итак,

◄

5. Вычислить интегралы:

а) ; б).

►а) Точка − особая точка подынтегральной функции на промежутке.

.

б) Точка − особая точка подынтегральной функции на промежутке.

.

Здесь

.◄

6. Исследовать на сходимость интегралы:

а) ; б); в).

►а) На данном промежутке интегрирования точка − особая, функцияв этой точке неограниченна. Имеем несобственный интеграл второго рода:

.

Рассмотрим первый интеграл:

Этот интеграл расходящийся. Следовательно, и данный интеграл расходящийся.

б) Особая точка . Подставим подынтегральную функцию в виде:

.

Сравним данный интеграл с интегралом вида

, который является сходящимся, т.к. (см. пример 4).

Сформулируем предельный признак сравнения.

Пусть − особая точка функцийинаи,на. Тогда, если существует конечный предел

,

то оба интеграла исходятся или расходятся одновременно.

Согласно данному признаку , исходный интеграл также сходящийся, т.к.:

.

в) Особая точка . Данный интеграл абсолютно сходящийся, т.к.:

и интеграл сходится.◄