Федеральное агентство по образованию

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИЙ И УПРАВЛЕНИЯ

(образован в 1953 году)

Кафедра физики и высшей математики

Дистанционное обучение

Физ. мат. 4.11.1706 зчн.плн. Физ. мат. 4.11.1706 зчн. скр Физ. мат. 4.11.2713 зчн. плн. Физ. мат. 4.11.2713 зчн. скр

Физ. мат. 4.11.0702 зчн.плн. Физ. мат. 4.11.0702 зчн. скр Физ. мат. 4.11.2102 зчн. плн. Физ. мат. 4.11.2102 зчн. скр

И.В. Трофимова

Математика

Методические указания

по практическим занятиям

для студентов 140401 (070200с,

220301 (210200), 260601 (170600),

260602 (271300)

www.msta.ru

Москва – 2006

УДК 51

©Трофимова И.В. Математика. Методические указания. М., МГУТУ, 2006.

Содержание учебно-методических указаний охватывает следующие разделы программы по дисциплине «Высшая математика»: интегральное исчисление (неопределенный и определенный интеграл, несобственные интегралы), двойные и тройные интегралы, криволинейные интегралы.

Большое число решенных типовых задач облегчает подготовку к практическим занятиям и контрольным работам и выполнение контрольных работ студентами-заочниками. Задачи для самостоятельной работы позволяют закреплять навыки решения и компоновать задания контрольных и самостоятельных работ.

Предлагаемые методические указания рекомендуется использовать в комплекте с а) курсом лекций по высшей математике для студентов 1-го и 2-го курсов механических специальностей (в двух частях), б) методическими указаниями для выполнения контрольных работ (варианты контрольных работ) для студентов 1-го и 2-го курсов заочной формы обучения.

Автор: Трофимова И.В.

Рецензент: доцент Гофман В.Г.

Редактор: Свешникова Н.И.

© Московский Государственный Университет Технологий и Управления, 2006г. 109004, Москва, Земляной вал, 73.

Содержание

Тема 1. Неопределенный интеграл…………………………………………...4

1.1. Непосредственное интегрирование. Замена переменной.

Интегрирование по частям…………………………………………………….4

1.2. Интегрирование рациональных функций……………………………......9

1.3. Интегрирование тригонометрических функций……………………….12

1.4. Интегрирование иррациональных функций…………………………....14

Тема 2. Определенный интеграл………………………………………….....16

2.1. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла………………………………………………………………………16

2.2. Приложения определенного интеграла…………………………………19

Тема 3. Несобственные интегралы…………………………………………..23

Тема 4. Кратные интегралы………………………………………………….28

4.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых и полярных координатах………………………………………………………....................28

4.2. Вычисление тройного интеграла в прямоугольных координатах.

Замена переменной в тройном интеграле……………...................................31

4.3. Приложения двойного и тройного интегралов………………………....34

Тема 5. Криволинейные интегралы……………………………………….....39

5.1. Криволинейный интеграл первого рода по длине дуги………………..39

5.2. Криволинейный интеграл второго рода: по координатам……………..41

Приложение…………………………………………………………………..43

Тема 1. Неопределенный интеграл

1.1. Непосредственное интегрирование.

Замена переменной. Интегрирование по частям.

Примеры решения задач

1. Вычислить интегралы:

а) ; б); в);

г) ; д); е);

ж) ; з).

►а) Применив табличный интеграл 1 (см. приложение), получим:

б) По табличному интегралу 3, при имеем:

в) В данном случае переменной интегрирования является , а переменнуюсчитаем постоянной, причем. Тогда, по свойствам неопределенного интеграла и табличному интегралу 3 имеем:

г) Аналогично предыдущему находим:

.

д) В числителе дроби прибавим и отнимем 1, затем почленно поделим числитель на знаменатель и применим табличные интегралы 1 и 11:

.

е)

.

ж) Подынтегральное выражение запишем в виде:

.

Согласно табличным интегралам 8 и 7 имеем:

.◄

2. Вычислить интегралы методом подстановки:

а) ; б); в);

г) ; д); е);

ж) ; з); и).

►а) Пусть , тогда. Подставим эти значения в подынтегральное выражение:

.

Данный интеграл можно вычислить следующим способом:

.

б) Аналогично предыдущему примеру имеем:

.

в) Пусть , тогда, и

.

г) .

Рассмотренные выше интегралы легко вычислить по общей формуле

, (1.1)

где − первообразная функции.

д) Данный интеграл приводится к табличному, если положить . Тогдаи.

Приведем еще одну общую формулу:

(1.2)

е) Так как , то, умножив и поделив интеграл на 2 и внеся множитель 2 под знак интеграла, а затем под знак дифференциала, получим:

ж) Пусть , поскольку. Имеем

.

з) Если числитель подынтегрального выражения умножить на 2, то он будет равен производной подкоренного выражения. Тогда

.

Полезно запомнить общую формулу, которая фактически применялась при вычислении данного интеграла, а именно

(1.3)

и) Пусть . Тогдаи

=.◄

3. Вычислить интегралы методом интегрирования по частям:

а) ; б); в);

г) ; д).

► Для применения метода интегрирования по частям необходимо подынтегральное выражение представить в виде произведения двух множителей и, причем черезобозначить функцию, которая упрощается при дифференцировании (например,), а через− выражение, из которого непосредственным интегрированием несложно определить(например,).

а) Пусть ,, тогда.

Подставляя эти значения в формулу интегрирования по частям

(1.4)

получим:

.

б) Пусть тогда. Тогда

.

К последнему интегралу снова применим метод интегрирования по частям, полагая , откуда. Итак, имеем.

в) Пусть , тогда. Имеем:

. (1.5)

Применим формулу интегрирования по частям к интегралу , полагая, откуда. Тогда

.

Подставляя этот результат в (1.5), получаем уравнение с неизвестным интегралом , т.е., отсюда

,

.

г) Пусть . Тогдаи

.

Аналогично предыдущему примеру

,

.

д) Пусть . Тогда

.◄