Распределение Больцмана
Атмосферное давление на высоте h обусловлено весом вышележащих слоев газа. Пусть Р давление газа на высоте h. Тогда давление на высоте h+dh будет P+dP, а разность давлений dP будет равна весу газа mg в объеме V с площадью основания S = 1 м2 и высотой dh (V=Sdh), отнесенному к S.
Выразим плотность газа ρ через давление P из уравнения Менделеева-Клапейрона
Тогда
Проинтегрируем
отдельно левую и правую части уравнения.
Считая температуру постоянной T=const,
получим lnP
= -
,
где С – постоянная интегрирования.
Выражение для давления будет
Постоянную интегрирования определяют
из граничного условия. Еслиh
= 0, то С = Р0
и тогда
Это уравнение носит название барометрической формулы и показывает зависимость давления газа от высоты.
Видно, что чем тяжелее молекулы и чем ниже температура, тем быстрее уменьшается давление с увеличением высоты.
Заменим
в формуле давление, выразив его через
концентрацию молекул из уравнений
P
= nkT,
P0
= n0kT
и
где n0 - концентрация молекул на высоте h=0;
n - концентрация молекул на высоте h≠0.
Данная формула описывает изменение концентрации молекул от высоты h в потенциальном поле земного тяготения и от температуры Т. Можно отметить две тенденции, определяющих распределение молекул по высоте:
1. Притяжение молекул к Земле (mg) стремится расположить их на поверхности Земли.
2.
Тепловое движение (kT)
стремится разбросать молекулы равномерно
по всем высотам от 0 до
.
В результате этих конкурирующих процессов распределение молекул газа по высоте имеет промежуточный вид.
Потенциальная энергия молекулы Р=mgh. Следовательно, полученная формула представляет собой распределение молекул по значениям потенциальной энергии
Это формула функции распределения Больцмана. Здесь n0 концентрация моле-кул в том месте, где Р = 0, n –концентрация молекул в той точке простран-ства, где молекула обладает потенциальной энергией p ≠ 0. Молекулы стремятся расположиться с наибольшей плотностью там, где у них минимальная потенциальная энергия
Закон Максвелла дает распределение молекул по значениям кинетической энергии, а закон Больцмана - по значениям потенциальной энергии.
Больцман доказал, что формула распределения справедлива не только в случае потенциального поля земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.
Контрольные вопросы
Что такое степень свободы молекул?
Чему равно число степеней свободы одно-, двух- и трехатомной молекул?
Сформулируйте закон распределения энергии по степеням свободы молекул.
Приведите выражение функции распределения молекул по скоростям.
По каким формулам определяются среднеарифметическая, наиболее вероятная и среднеквадратичная скорости молекул?
Каково выражение для функции распределения Больцмана по значениям потенциальной энергии?
Тесты
чему равно число степеней свободы двухатомной молекулы?
а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5.
Сколько степеней свободы приходится на вращательное движение у двухатомной молекулы?
а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5.
Какое из приведенных выражений описывает наиболее вероятную скорость?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Какое из приведенных выражений является функцией распределения Больцмана?
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.