И энергиям теплового движения Максвелла

Молекулы газа движутся хаотично. Величины и направления скоростей молекул изменяются в результате весьма частых (до 10⁹ с^-1) соударений с другими молекулами. Так как все направления движения равновероятны, то распределение движения молекул по направлениям будет равномерным, т.е. в каждом из выбранных направлений будет двигаться равное число молекул. Вместе с тем возможные численные значения скорости отнюдь неравновероятны, они могут изменяться в широких пределах. Вследствие соударений с другими молекулами молекула может приобрести энергию существенно большую, чем ее средняя энергия < ε>. Однако, даже если одна молекула отберет энергию у всех остальных молекул, то и тогда ее энергия будет конечной, т.е. скорость молекулы газа вообще не может иметь значения выше некоторого значения v_max , а тем более v = ∞.

Вероятность того, что скорости окажутся слишком большими или слишком малыми по сравнению со средней, практически невелика и значения скоростей группируются около некоторого наиболее вероятного значения. Воспользуемся способом моментальной “фотографии“. Возьмем горизонтальную ось скоростей. Крестиками на оси скоростей отметим значения скоростей молекул, зафиксированные в какой-то момент времени. Качественная картина распределения молекул вдоль оси скоростей будет такой, как на рис.52.

Плотность точек ρ ( она определена формулой 9.1) вдоль оси будет неравномерной и, очевидно, будет зависеть от величины скорости v, так как зависит от выбора места интервала скоростей Δv

, (9.1)

где Δv - интервал скоростей от v до (v + Δv); ΔN_v - число молекул, обладающих скоростями в интервале значений от v до (v + Δv).

Если взять несколько порций газа при одинаковых давлении P и температуре Т в идентичных условиях, то плотность точек на оси v будет пропорциональна числу молекул N в каждой порции газа, а одинаковым для всех порций газа будет отношение

Функция f(v) называется функцией распределения молекул по скоростям. Величина дает вероятность того, что скорость молекулы будет иметь значение в пределах данного интервала скоростей Δv.

Сумма этой величины по всему диапазону скоростей от 0 до ∞ будет равна 1: , поскольку скорость молекулы обязательно принимает какую-либо величину в интервале от 0 до ∞ . Вероятность этого есть вероятность достоверного события и, следовательно, равна 1, т.е.

Вид функции распределения молекул по скоростям получен Максвеллом и она носит его имя

где m - масса молекулы; k - постоянная Больцмана; T –температура; А - множитель, не зависящий от скорости. Величины стоящие в показателе степени, характеризуют среднее значение энергии молекулы. Экспонентаубывает быстрее, чем возрастает v², поэтому функция f (v)

(рис. 53), достигнув максимума, будет асимптотически стремиться к нулю.

Коэффициент А находят из условия нормировки:

или

Этот интеграл будет равен 1,

если коэффициент А равен

. Окончательный вид функции распределения представляется выражением:

График функции дан на рис. 53. Эта функция зависит от рода газа (m) и параметра состояния (Т). Давление и объем на функцию распределения f (v) не влияют. Скорость, отвечающая максимуму распределения, называется вероятной v_вер и является наиболее вероятной. Выражение для v_вер можно получить, продифференцировав и приравняв эту производную нулю:

.

При v=0 и v=∞ функция имеет минимумы, а из условия отвечающее условию максимума функции при v=v_вер.

.

С ростом температуры максимум распределения смещается в сторону больших скоростей (рис. 54). Зная распределение молекул по скоростям, можно найти среднее значение скорости <v_ар> (среднеарифметическое), а также среднее значение квадрата скорости <v²_кв>:

Оценка средней скорости молекул кислорода (М=32 кг/кмоль) при нормальных условиях даст величину порядка 500м/с, а для водорода -порядка 2 км/с.Относительные количества молекул ΔN/N для различных интервалов скоростей приведены в таблице

v/vвер	0 - 0,5	0,5 - 1,5	1,5 - 2	2 - 3	> 3	>5
ΔN/N (%)	8	70,7	16,6	4,6	0,04	8 ∙10-9

Как видно из таблицы, более чем у 70% всех молекул скорость отличается от наиболее вероятной не больше, чем на 50% . Скоростью, более чем в три раза превышающей v_вер , обладают в среднем только 0,04% молекул.

Экспериментальная проверка закона распределения молекул по скоростям проведена в опытах Штерна (1920 г.) и Ламмерта (1929 г.).

Два коаксиальных цилиндра с радиусами R и r вращаются с одинаковой угловой скоростью ω (рис. 55). На оси цилиндров помещена платиновая нить, покрытая серебром. При нагревании нити молекулы серебра испаряются и вылетают через отверстие - щель в малом цилиндре. Если бы скорости молекул были одинаковыми, то на внутренней поверхности большого цилиндра появилось бы пятно, равное по размеру ширине отверстия-щели в малом цилиндре. Получилось же размытое пятно. Это качественно подтверждает справедливость распределения молекул по скоростям.

Вопыте Ламмерта ( рис. 56) щели 1 и 2 смещены на угол Δφ. Через вторую щель в диске пройдут молекулы, имеющие определенную скорость. Изменяя угловую скорость ω, можно снять полное распределение молекул по скоростям. Исходя из полного распределения молекул по скоростям, можно найти распределение молекул по значениям их кинетической энергии поступательного движения. Для этого нужно перейти от переменной v к переменной Производя заменуи, получим функцию распределения молекул по энергиям