
- •Федеральное агентство по образованию
- •Гладской в.М., Дмитриева в.Ф., Калугина л.И.,
- •Оглавление
- •Глава 8. Физические основы молекулярной физики
- •Статистический (молекулярно-кинетический) и термодинамический методы исследования
- •Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов
- •Кинетическая энергия и скорость поступательного движения молекулы. Давление
- •Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул в газе
- •Явления переноса в газах. Законы диффузии, теплопроводности и внутреннего трения
- •Контрольные вопросы
- •Пример решения задач
- •Глава 9. Статистические распределения Закон распределения энергии по степеням свободы молекулы
- •И энергиям теплового движения Максвелла
- •Распределение Больцмана
- •Контрольные вопросы
- •Пример решения задач
- •Глава 10. Основы термодинамики Внутренняя энергия идеального газа
- •Работа газа при расширении
- •Количество теплоты. Теплоемкость газов. Уравнение Майера
- •Адиабатный процесс
- •Цикл Карно и его кпд для идеального газа
- •Энтропия идеального газа. Второй закон термодинамики. Теорема Нернста
- •Энтропия и вероятность
- •Контрольные вопросы
- •Пример решения задач
- •Глава 11. Реальные газы
- •Взаимодействие молекул реального газа
- •Уравнение Ван-дер-Ваальса. Изотермы Ван-дер-Ваальса
- •Внутренняя энергия реального газа
- •Контрольные вопросы
- •Пример решения задач
- •Дополнительные контрольные вопросы к главам 8 - 10
- •Глава 8. 1.А); 2.А); 3.В); 4.Д); 5.Б).
Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул в газе
Молекулы
газа движутся хаотично и при средней
скорости в сотни м/с испытывают множество
соударений в секунду. В модели идеального
газа принято, что молекулы взаимодействуют
между собой по механизму шаров при
упругом ударе.
Минимальное расстояние, на которое сближаются центры двух молекул, называется эффективным диаметром d молекулы, а величина σ = πd2 называется эффективным сечением молекулы (рис.45).
Траектория движения отдельно взятой молекулы представляет собой ломаную линию с отрезками разной длины (рис. 46). Расстояние, проходимое молекулой между двумя последовательными соударениями, изменяется после каждого соударения. Поэтому вводят понятие средней длины свободного пробега < λ >
Если средняя скорость молекулы <v>, то за время t = 1с она пролетит расстояние s=<v>t=<v>1=<v> и на этом пути претерпит какое-то среднее число соударений <z> с другими молекулами и стенками сосуда. Определим <z> .
Предположим, что все молекулы кроме одной застыли на месте, т.е. неподвижны. На своем направлении полета v эта подвижная молекула 1 столкнется с теми “застывшими” молекулами, центры которых отстоят от направления ее полета на расстоянии d по обе стороны этого направления, т.е. со всеми теми молекулами, которые находятся в цилиндре с радиусом основания d и высотой s=<v> (рис. 47).
Число
таких молекул, с которыми она столкнется
за одну секунду будет равноn∙π∙d2∙s=n∙π∙d2∙<v>,
г 1
раз больше, тогда
<z>
=
n
σ∙<v>,
<z> - среднее число столкновений за 1 с. Здесь <v> - среднеарифметическая скорость. Таким образом, на пути s=<v>t за время t=1c происходит <z> число столкновений. Отсюда длина свободного пробега <λ> будет равна
При
нормальных условиях <λ>2·10-7м,
<z>
109с-1.
Известно, что P
= nkT.
Поэтому при постоянной температуре
T=const
среднее число столкновений <z>
будет пропорционально Р, а средняя длина
свободного пробега обратно пропорциональна
давлению <λ> ∼
1/P.
При давлениях Р<1∙10-5
мм рт. ст. молекулы в сосуде движутся
практически без столкновений друг с
другом, т.е. от одной стенки сосуда до
другой они пролетают, не испытывая
соударений с другими молекулами.
Явления переноса в газах. Законы диффузии, теплопроводности и внутреннего трения
Рассмотрим
газовую смесь, состоящую из нескольких
компонент. Обозначим ni-
число молекул i-ой
компоненты в единице объема. Полное
число молекул в единице объема будет
n=ni
.
Безразмерная
величина
называетсяотносительной
концентрацией
молекул i-ой
компоненты в газовой смеси. Очевидно,
что
Абсолютной
концентрацией
i
-ой компоненты называется масса молекул
данного сорта, содержащаяся в единице
объема ci
=nim,
где m
– масса молекулы. Может случиться так,
что концентрация газовых компонент
будет различной в разных точках
пространства (рис. 48).
Выравнивание концентраций будет сопровождаться переносом массы в направлении из области с высокой концентрацией в область с низкой концентрацией. Этот процесс называется диффузией и описывается законом Фика
Это выражение представляет собой уравнение диффузии.
Масса
вещества М, переносимого в процессе
диффузии через площадь s
за время t,
прямо пропорциональна градиенту
концентрации
dc/dz.
Коэффициент пропорциональности D
называют коэффициентом диффузии . Знак
“-“ в уравнении означает, что масса
переносится в направлении, противоположном
возрастанию концентрации с, т.е. в
направлении противоположном градиенту.
Уравнение диффузии получено эмпирически и выражает закон Фика. Это же уравнение можно получить, исходя из молекулярно-кинетических представлений.
Коэффициент
диффузии определяется выражением
D=1/3
<v>
< λ> и имеет размерность [м2/c].
Здесь <v>
- среднеарифметическая скорость движения
молекул, < λ> - средняя длина свободного
пробега молекул. Поскольку
,
то D
∼
Таким образом, легкие молекулы диффундируют быстрее, повышение температуры ускоряет диффузию, а повышение давления её замедляет.
Опытным путем установлено, что, если в пространстве имеется градиент температуры в некотором направлении (например, z), то вдоль этого направления устанавливается поток тепла, который описывается уравнением теплопроводности Фурье
Здесь Q - количество теплоты, переносимое через площадь s за время t; dТ/dz - градиент температуры. Коэффициент пропорциональности χ называется коэффициентом теплопроводности и равен
где <λ> - средняя длина свободного пробега молекул, <v> - средне- арифметическая скорость молекул, ρ - плотность газа, cv - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме.
Если в двух движущихся с разными скоростями в одном направлении слоях газа (жидкости) молекулы из одного слоя переходят в другой, то в процессе этого перехода переносится импульс (рис.49).
Этот
процесс называют внутренним трением
(или вязкостью) и характеризуют силой
внутреннего трения:
Сила вязкости прямо пропорциональна градиенту скорости в направлении z , перпендикулярном площадке скольжения, и площади s трущихся слоев. Коэффициент пропорциональности η называют коэффициентом внутреннего трения или вязкости:
Взаимосвязь коэффициентов диффузии, теплопроводности и вязкости: