Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул в газе

Молекулы газа движутся хаотично и при средней скорости в сотни м/с испытывают множество соударений в секунду. В модели идеального газа принято, что молекулы взаимодействуют между собой по механизму шаров при упругом ударе.

Минимальное расстояние, на которое сближаются центры двух молекул, называется эффективным диаметром d молекулы, а величина σ = πd² называется эффективным сечением молекулы (рис.45).

Траектория движения отдельно взятой молекулы представляет собой ломаную линию с отрезками разной длины (рис. 46). Расстояние, проходимое молекулой между двумя последовательными соударениями, изменяется после каждого соударения. Поэтому вводят понятие средней длины свободного пробега < λ >

Если средняя скорость молекулы <v>, то за время t = 1с она пролетит расстояние s=<v>t=<v>1=<v> и на этом пути претерпит какое-то среднее число соударений <z> с другими молекулами и стенками сосуда. Определим <z> .

Предположим, что все молекулы кроме одной застыли на месте, т.е. неподвижны. На своем направлении полета v эта подвижная молекула 1 столкнется с теми “застывшими” молекулами, центры которых отстоят от направления ее полета на расстоянии d по обе стороны этого направления, т.е. со всеми теми молекулами, которые находятся в цилиндре с радиусом основания d и высотой s=<v> (рис. 47).

Число таких молекул, с которыми она столкнется за одну секунду будет равноn∙π∙d²∙s=n∙π∙d²∙<v>,

г

1

деn– концентрация молекул (м^-3), π∙d²=σ– эффективное сечение молекулы, s=<v>t- путь, проходимый за 1 с. В реальных условиях, когда все молекулы движутся, число столкновений будет в раз больше, тогда

<z> = n σ∙<v>,

<z> - среднее число столкновений за 1 с. Здесь <v> - среднеарифметическая скорость. Таким образом, на пути s=<v>t за время t=1c происходит <z> число столкновений. Отсюда длина свободного пробега <λ> будет равна

При нормальных условиях <λ>2·10^-7м, <z>10⁹с^-1. Известно, что P = nkT. Поэтому при постоянной температуре T=const среднее число столкновений <z> будет пропорционально Р, а средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению <λ> ∼ 1/P. При давлениях Р<1∙10^-5 мм рт. ст. молекулы в сосуде движутся практически без столкновений друг с другом, т.е. от одной стенки сосуда до другой они пролетают, не испытывая соударений с другими молекулами.

Явления переноса в газах. Законы диффузии, теплопроводности и внутреннего трения

Рассмотрим газовую смесь, состоящую из нескольких компонент. Обозначим n_i- число молекул i-ой компоненты в единице объема. Полное число молекул в единице объема будет n=n_i .

Безразмерная величина называетсяотносительной концентрацией молекул i-ой компоненты в газовой смеси. Очевидно, что Абсолютной концентрацией i -ой компоненты называется масса молекул данного сорта, содержащаяся в единице объема c_i =n_im, где m – масса молекулы. Может случиться так, что концентрация газовых компонент будет различной в разных точках пространства (рис. 48).

Выравнивание концентраций будет сопровождаться переносом массы в направлении из области с высокой концентрацией в область с низкой концентрацией. Этот процесс называется диффузией и описывается законом Фика

Это выражение представляет собой уравнение диффузии.

Масса вещества М, переносимого в процессе диффузии через площадь s за время t, прямо пропорциональна градиенту концентрации dc/dz. Коэффициент пропорциональности D называют коэффициентом диффузии . Знак “-“ в уравнении означает, что масса переносится в направлении, противоположном возрастанию концентрации с, т.е. в направлении противоположном градиенту.

Уравнение диффузии получено эмпирически и выражает закон Фика. Это же уравнение можно получить, исходя из молекулярно-кинетических представлений.

Коэффициент диффузии определяется выражением D=1/3 <v> < λ> и имеет размерность [м²/c]. Здесь <v> - среднеарифметическая скорость движения молекул, < λ> - средняя длина свободного пробега молекул. Поскольку , то D ∼

Таким образом, легкие молекулы диффундируют быстрее, повышение температуры ускоряет диффузию, а повышение давления её замедляет.

Опытным путем установлено, что, если в пространстве имеется градиент температуры в некотором направлении (например, z), то вдоль этого направления устанавливается поток тепла, который описывается уравнением теплопроводности Фурье

Здесь Q - количество теплоты, переносимое через площадь s за время t; dТ/dz - градиент температуры. Коэффициент пропорциональности χ называется коэффициентом теплопроводности и равен

где <λ> - средняя длина свободного пробега молекул, <v> - средне- арифметическая скорость молекул, ρ - плотность газа, c_v - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Если в двух движущихся с разными скоростями в одном направлении слоях газа (жидкости) молекулы из одного слоя переходят в другой, то в процессе этого перехода переносится импульс (рис.49).

Этот процесс называют внутренним трением (или вязкостью) и характеризуют силой внутреннего трения:

Сила вязкости прямо пропорциональна градиенту скорости в направлении z , перпендикулярном площадке скольжения, и площади s трущихся слоев. Коэффициент пропорциональности η называют коэффициентом внутреннего трения или вязкости:

Взаимосвязь коэффициентов диффузии, теплопроводности и вязкости: