Модуль 4. Теория вероятностей и математическая статистика

Элементарная теория вероятностей. Случайные события, виды событий. Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности.

Условная вероятность. Основные теоремы теории вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторные испытания. Формула Бернулли.

Случайные величины. Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Функция распределения, ее свойства, график. Биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое распределение.

Непрерывные случайные величины. Плотность распределения случайной величины. Равномерное, нормальное, экспоненциальное распределения.

Математическое ожидание и дисперсия дискретной и непрерывной случайной величины, их свойства. Среднее квадратическое отклонение.

Предельные теоремы. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема.

Модели случайных процессов. Случайные процессы. Свойства и вероятностные характеристики случайных процессов. Процессы с независимыми приращениями. Потоки событий. Пуассоновский процесс: стационарность, отсутствие последействия, ординарность. Ветвящийся процесс. Процесс гибели и размножения

Выборки и их характеристики. Генеральная и выборочная совокупности, повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка. Статистическая функция распределения выборки. Статистический ряд. Гистограмма и полигон частот. Числовые характеристики статистического распределения.

Элементы теории оценок и проверки гипотез. Точечные и интервальные оценки математического ожидания и дисперсии. Метод наибольшего правдоподобия.

Статистические гипотезы. Математические методы проверки статистических гипотез. Основная и конкурирующая гипотезы, уровень значимости, ошибки первого и второго родов, критическая область, мощность критерия.

Статистические методы обработки экспериментальных данных. Корреляционный анализ. Основные понятия корреляционного анализа. Точечные оценки двумерной корреляционной модели. Проверка значимости генерального коэффициента корреляции. Интервальная оценка генерального коэффициента корреляции.

Регрессионный анализ. Основные понятия регрессионного анализа. Планирование регрессионного эксперимента. Обработка результатов активного эксперимента методом регрессионного анализа. Статистический анализ уравнения регрессии.

Дисперсионный анализ. Основные понятия дисперсионного анализа. Однофакторный дисперсионный анализ.

Модуль 5. Дискретная математика

Комбинаторика. Предмет комбинаторики. Правило суммы и правило произведения. Принцип включения и исключения. Размещения, перестановки, сочетания без повторений и с повторениями.

Биноминальные коэффициенты и соотношения для них. Задачи перечисления.

Математическая логика. Основные понятия логики: высказывания и рассуждения. Основные логические связки. Алгебра высказываний. Логические функции и способы их задания – таблицы и формулы. Функциональная полнота. Булева алгебра и ее законы.

Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы.

Логика предикатов. Предметная область и предметные переменные. Кванторы общности и существования. Свободные и связанные переменные. Эквивалентные соотношения в логике предикатов. Общезначимые и противоречивые формулы. Запись утверждений естественного языка в логике предикатов.

Теория графов. Неориентированные и ориентированные графы, мультиграфы и кратные ребра. Смежность и инцидентность. Способы представления графов. Матрица смежности. Графы и бинарные отношения. Изоморфизм графов. Полные графы и клики. Двудольные графы.

Пути, циклы, цепи, простые цепи в неориентированных графах. Связность и компоненты связности. Расстояния. Центр, радиус, диаметр графа. Обходы графов.

Виды связности в ориентированных графах.

Матрицы графов и операции над ними.

Деревья и их свойства. Корневые деревья. Приложения деревьев: иерархии, классификации. Обходы деревьев.

Теория алгоритмов. Алгоритм Евклида и оптимизационные задачи на графах. Минимальное остовное дерево. Кратчайшие пути и алгоритм Дейкстры. Потоки в сетях: определения, понятие увеличивающей цепи, алгоритм нахождения минимального потока. Понятие о сложности, переборных и трудно вычислимых задачах.