Модуль 3. Математический анализ

Введение в анализ. Функции. Последовательности. Предел последовательности и предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые функции.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Непрерывность функций, точки разрыва. Производная функции. Механический и геометрический смысл производной. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Таблица производных. Производная сложной функции. Производная неявной функции и функции, заданной в параметрическом виде. Производные высших порядков.

Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала функции. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференциалы высших порядков.

Теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя. Формулы Тейлора.

Возрастание и убывание функции. Экстремумы. Выпуклость графика функций. Точки перегиба. Асимптоты. Схема исследования функции и построение графика.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Функции двух и трех переменных. Частные производные, дифференциал. Матрица Якоби, якобиан. Производная по направлению. Градиент. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Экстремум функции двух переменных.

Неопределенный интеграл. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов. Методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям. Интегрирование основных классов элементарных функций.

Определенный интеграл. Определенный интеграл и его свойства. Геометрический и физический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Метод интегрирования подстановкой. Интегрирование по частям. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур, длины дуги плоской кривой, объема тела, площади поверхности вращения и др. физические приложения определенного интеграла: вычисление работы, давления и др.

Несобственные интегралы I и II рода, признаки их сходимости.

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Задача об объеме цилиндрического тела. Двойной интеграл и его свойства. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление площади плоских фигур и объемов тел, площади криволинейной поверхности при помощи двойного интеграла. Применение двойных интегралов к решению физических задач: вычисление масс, статических моментов, координат центров масс, моментов инерции.

Тройной интеграл и его свойства. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах. Применение тройного интеграла к решению физических задач. Понятие кратного интеграла.

Задача о массе материальной кривой. Криволинейный интеграл I рода, его свойства и вычисление. Задача о работе переменной силы на криволинейном пути. Криволинейный интеграл II рода, его свойства и вычисление. Формула Грина для односвязных и многосвязных областей. Вычисление площади плоских фигур с помощью криволинейного интеграла.

Задача о массе материальной поверхности. Поверхностный интеграл I рода, его свойства и вычисление. Поверхностный интеграл II рода и его физических смысл. Свойства поверхностного интеграла и вычисление его сведением к двойным интегралам.

Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения Бернулли, в полных дифференциалах.

Дифференциальные уравнения высших порядков: допускающие понижение порядка, линейные уравнения второго и высших порядков – однородные и неоднородные.

Системы дифференциальных уравнений. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Теория функций комплексной переменной. Элементарные функции комплексной переменной. Производная функции комплексной переменной и ее свойства. Понятие конформного отображения.

Интеграл функции комплексной переменной и его свойства. Нахождение вычетов функций.

Преобразования Лапласа и Фурье.