4.3. Содержание учебно-образовательных модулей Модуль 1. Линейная алгебра

Системы линейных уравнений и матрицы. Определители и алгебра матриц: определение, свойства, сложение и умножение матриц, умножение матрицы на число, транспонирование матриц. Обратная матрица. Ранг матрицы. Группы невырожденных квадратных матриц по умножению.

Системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера, метод Гаусса. Общая теория систем линейных уравнений (критерий совместности, общее решение и фундаментальная система решений).

Векторная алгебра. Векторы и линейные операции над ними. Коллинеарность и компланарность векторов. Линейная зависимость систем векторов. Описание базисов плоскости и пространства. Координаты векторов в базисе плоскости и пространства. Действия над векторами, заданными своими координатами. Критерии коллинеарности и компланарности векторов в координатах. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их свойства и геометрический смысл.

Алгебраические структуры. Отношения. Бинарные отношения на множествах. Алгебраические структуры: группа, кольцо, поле. Алгебры. Алгебраические системы. Булева алгебра.

Кольцо целых чисел. Теория делимости в кольце целых чисел. Кольца классов вычетов.

Поле комплексных чисел.

Кольцо многочленов от одной переменной, теория делимости. Многочлены от нескольких переменных.

Модуль 2. Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия на плоскости. Декартова система координат на плоскости. Формулы преобразования координат при параллельном переносе начала координат и при повороте осей координат. Полярная система координат на плоскости. Связь декартовых координат с полярными.

Векторное уравнение прямой. Параметрические и канонические уравнения прямой. Уравнение прямой в отрезках. Общее уравнение прямой и уравнение прямой с угловым коэффициентом. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Линии второго порядка: эллипс, гипербола, парабола, их канонические свойства. Фокальные свойства эллипса и гиперболы. Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе, условия касания. Оптические свойства линий второго порядка. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.

Общее уравнение линии второго порядка. Классификация линий второго порядка. Определение вида линии второго порядка с помощью инвариантов.

Аналитическая геометрия в пространстве. Декартова система координат в пространстве. Формулы преобразования координат. Полярная система координат в пространстве, цилиндрические и сферические координаты. Связь декартовых координат с цилиндрическими и сферическими.

Плоскость в пространстве. Уравнение плоскости в векторной форме. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно двум неколлинеарным векторам. Общее уравнение плоскости. Нормальное уравнение плоскости. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Взаимное расположение двух и трех плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до плоскости.

Прямая линия в пространстве. Векторное уравнение прямой. Параметрические и канонические уравнения прямой. Общие уравнения прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Поверхности второго порядка. Поверхности вращения и их уравнения. Цилиндрические и конические поверхности, их задание с помощью направляющих линий. Конические сечения.