Спектральные плотности неинтегрируемых сигналов

Математические модели многих сигналов, широко применяемых в радиотехнике, не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости, поэтому метод преобразований Фурье в обычном виде к ним неприменим. Однако, как указывалось, можно говорить о спектральных плотностях таких сигналов, если допустить, что эти плотности описываются обобщенными функциями.

Обобщенная формула Рэлея. Докажем важное вспомогательное положение, касающееся спектральных свойств сигналов.

Пусть два сигнала u(t) и v(t) в общем случае комплекснозначные, определены своими обратными преобразованиями Фурье:

Обобщение понятия спектральной плотности.

Будем считать, что сигнал v(t) представляет собой абсолютно интегрируемую функцию. Тогда его преобразование Фурье V() — обычная классическая функция частоты. Пусть наряду с этим сигнал u(t) не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости и в обычном классическом смысле преобразование Фурье U() не существует. Однако можно расширить понятие спектральной плотности, допустив, что U() является обобщенной функцией в том смысле, который был установлен в § 1.2. Для этого в соответствии с обобщенной формулой Рэлея достаточно положить, что U() — функционал, который, действуя на известную функцию V(), дает следующий результат:

Приемы вычисления спектров неинтегрируемых сигналов целесообразно рассмотреть на конкретных примерах.

Спектральная плотность постоянного во времени сигнала. Простейший неинтегрируемый сигнал — это постоянная величина и u(t)=A=const. Предположим, что v(t) — произвольный вещественный абсолютно интегрируемый сигнал с известной спектральной плотностью V()

Раскрывая формулу (2.43), имеем

Но, как легко заметить,

Отсюда на основании фильтрующего свойства дельта функции приходим к выводу, что равенство (2.43) возможно лишь при условии, что

Физический смысл полученного результата нагляден — неизменный во времени сигнал имеет спектральную составляющую только на нулевой частоте.

Спектральная плотность комплексного экспоненциального сигнала.

Пусть s(t=exp(j (нулевое)t) — комплексный экспоненциальный сигнал с заданной вещественной частотой нулевое. Этот сигнал не является абсолютно интегрируемым, поскольку при t+- бесконечность, функция s(t) не стремится ни к какому пределу. Преобразование Фурье S() этого сигнала, рассматриваемое в обобщенном смысле, должно удовлетворять соотношению

Отсюда искомая спектральная плотность S (), выражается таким образом:

Отметим следующее:

1. Спектральная плотность комплексного экспоненциального сигнала равна нулю всюду, кроме точки = нулевое  где она имеет дельта-особенность.

2. Спектр данного сигнала несимметричен относительно точки =0  и сосредоточивается в области либо положительных, либо отрицательных частот.

Спектральная плотность гармонических колебаний. Пусть s(t)=cosнулевоеt По формуле Эйлера

Найденный выше спектр комплексного экспоненциального сигнала, а также свойство линейности преобразования Фурье позволяют сразу записать выражение спектральной плотности косинусоидального сигнала:

Читатель может легко проверитьсамостоятельно, что для синусоидального сигнала справедливо соотношение

Следует заметить, что выражение (2.46) представляет собой четную, а выражение (2.47) — нечетную функцию частоты.