!Оптика и квантовая механика / Задачи / 11 / zan23_24

Занятия 23,24.

№ 6.113.

Найти возможные значения полных механических моментов атомов, находящихся в состояниях и .

Решение:

Полный механический момент атома находится по формуле:

,

где может принимать значения от до . В первом случае (для атома, находящегося в состоянии ), из общего обозначения находим:

.

Тогда может принимать значения:

,

тогда полный механический момент может быть равен:

.

Аналогично для атома, находящегося в состоянии , получаем:

.

может принимать значения:

,

тогда полный механический момент может быть равен:



№ 6.116.

Атом находится в состоянии, мультиплетность которого равна трем, а полный механический момент . Каким может быть соответствующее квантовое число ?

Решение:

Полный механический момент атома находится по формуле:

.

По определению, мультиплетность атома , тогда

.

Вспомним, что представляет из себя спектр значений :

.

Из первого значения , получаем:

.

Рассмотрим последнее значение :

,

но т.к. может принимать только положительные значения, . Очевидно, может принимать и все промежуточные значения между полученными нами крайними значениями:

. 

№ 6.117.

Определить максимально возможный орбитальный механический момент атома в состоянии, мультиплетность которого равна пяти и кратность вырождения по - семи. Написать спектральное обозначение соответствующего терма.

Решение:

По определению, кратность вырождения по равна:

.

По определению мультиплетности,

.

Теперь легко найти максимальное значение из условия:

.

Тогда максимально возможный орбитальный механический момент равен:

.

Спектрально обозначение соответствующего терма будет выглядеть следующим образом:



№ 6.122.

Установить, какие из нижеперечисленных переходов запрещены правилами отбора:

Решение:

Вспомним правила отбора:

.

• - возможен: , , ;

• - невозможен: ;

• - невозможен: ;

• - возможен: , , 

№ 6.123.

Определить суммарную кратность вырождения - состояния атома лития. Каков физический смысл этой величины?

Решение:

В задаче зафиксированы n и l квантовые числа. Значит, данное состояние будет вырождено по и . Иными словами, суммарная кратность вырождения в нашем случае равна:

,

поскольку если указан спин, то его проекция может принимать значений; если указан , то его проекция может принимать значений. В нашей задаче (поскольку атом лития имеет один электрон), . Итак, имеем:

.

Тогда суммарная кратность вырождения равна:



№ 6.160.

Некоторый атом находится в состоянии, для которого , полный механический момент , а магнитный момент равен нулю. Написать спектральный символ соответствующего терма.

Решение:

По условию, магнитный момент :

.

Поскольку для полного механического момента имеем:

,

значит . Приравняв фактор Ланде к нулю, получим:

.

Спектральный символ соответствующего терма, для которого , , , имеет вид:



№ 6.164.

Узкий пучок атомов ванадия в основном состоянии пропускают по методу Штерна и Герлаха через поперечное резко неоднородное магнитное поле протяженностью . Расщепление пучка наблюдают на экране, отстоящем от магнита на расстояние . Кинетическая энергия атомов . При каком значении градиента индукции магнитного поля расстояние между крайними компонентами расщепленного пучка на экране будет составлять .

Решение:

Схема опыта Штерна и Герлаха изображена на правой части рисунка. Теория говорит нам о том, что на нейтральные частицы, движущиеся в неоднородном поле, действует сила, направленная в сторону большей неоднородности (неоднородность поля достигается при помощи полюсов специальной формы, см. левую часть рисунка). Таким образом, частицы приобретают дополнительную энергию:

.

Как известно, сила, действующая на частицы, может быть найдена по формуле

.

Заметим, что в области неоднородности поля, между полюсами магнита, отлична от нуля только компонента поля, тогда

,

где - собственное значение оператора , может принимать значения от до . Поскольку мультиплет атомов Ванадия (по условию) - , где , пучок расщепится на 4 составляющие (), крайние составляющие будут, очевидно, образованы пучками с и (т.е. ), поскольку .

Т.к. сила, действующая на каждую из составляющих пучка, постоянна, движение частицы в области между полюсами магнита (вдоль оси ) является равноускоренным, при вылете из области частица будет обладать составляющей скорости , где , - отклонение частиц на участке . На участке движение вдоль оси является равномерным. Общее отклонение частиц от начального направления движения складывается из отклонений, приобретенных на участках и :

,

где - проекция скорости движения частиц на ось , - время движения частиц на участке . Т.к. составляющая поля отсутствует, движение вдоль оси является равномерным на протяжение всего движения частицы, тогда

.

Подставляя все полученные результаты в выражение для общего смещения, получим:

.

Подставляя в выражение для проекции силы на ось , получим:

. 

№ 6.165.

На сколько подуровней расщепится в слабом магнитном поле терм:

Решение:

1. ;

В общем случае, терм расщепляется на состояния с различными , всего состояний, за исключением случаев, когда фактор Ланде = 0. Энергия взаимодействия атома с внешним полем описывается уравнением:

, , где .

Итак, терм не расщепляется, поскольку . 

2. ;

Т.к. в случае, когда фактор Ланде равен нулю, терм не расщепляется, найдем фактор Ланде:

,

значит терм расщепляется на подуровней. 

3. ;

Т.к. в случае, когда фактор Ланде равен нулю, терм не расщепляется, найдем фактор Ланде:

,

значит терм не расщепляется. 

№ 6.169.

Известно, что спектральная линия атома обусловлена переходом между синглетными термами. Вычислить интервал между крайними компонентами этой линии в магнитном поле с индукцией .

Решение:

Синглетным называется терм, у которого , и, следовательно, и фактор Ланде (в этом легко убедиться). Схема образования спектральных линий при переходе между синглетными термами в магнитном поле изображена на рисунке. При погружении в магнитное поле частицы приобретают дополнительную энергию и происходит расщепление уровней по :

,

где может принимать значения от до (или в случае синглетного терма, от до ). Если взять за нулевой уровень энергии , то относительно этого уровня, энергия

,

.

В дальнейшем будем опускать фактор Ланде, поскольку он равен единице. Тогда спектральные линии, обусловленные переходами между этими энергиями, равны:

.

По правилу отбора для проекции полного момента, , тогда

, .

Найдем разность длин волн между этими спектральными линиями:

. 

№ 6.173.

Длины волн дублета желтой линии натрия равны и нм. Найти:

а) отношение интервалов между соседними подуровнями зеемановского расщепления термов и в слабом магнитном поле;

б) индукцию магнитного поля, при которой интервал между соседними подуровнями зеемановского расщепления терма будет в раз меньше естественного расщепления терма .

Решение:

а) Схема перехода изображена на рисунке. Как известно, подуровень (подуровень) не расщепляется. В слабом магнитном поле частицы приобретают дополнительную энергию

.

Поскольку нас интересует отношение интервалов между соседними подуровнями зеемановского расщепления, то для данного мультиплета:

.

Тогда искомое отношение имеет вид:

.

Найдем факторы Ланде для и :



б) По условию, . Как было найдено в пункте а) , интервал между соседними подуровнями зеемановского расщепления терма имеет вид:

,

где в данном случае . Тогда ,

. 