3. Законы

(А, В далее – любые формулы языков КЛВ и КЛП)

• AA (закон исключенного третьего)

• (A&A) (закон (не)противоречия)

• (A&B)(B&A) (закон коммутативности &)

• (AB)(BA) (закон коммутативности )³

• (A&B)(AB) (закон де Моргана)

• (AB)(A&B) (закон де Моргана)

• (A₁& A_{2 ….} & A_n)(A₁ A_{2 ….} A_n ) (обобщенный закон де Моргана)

• (A₁A_{2 ….} A_n)(A₁A_{2 ….}  A_n ) (обобщенный закон де Моргана)

• (AB)(A&B) (закон отрицания импликации)

А, В – любые формулы языка КЛП, ,  - любая переменная (x, y, z и т.д.).

• (A&B)(A&B) (закон пронесения квантора общности через конъюнкцию)

• (AB)(AB) (закон пронесения квантора существования через дизъюнкцию)

• (AB) (AB) (закон пронесения квантора общности через дизъюнкцию)

• (A&B)(A&B) (закон пронесения квантора существования через конъюнкцию)

Условно-категорические схемы умозаключения:

AB, A⊨B (modus ponens)

AB, B⊨A (modus tollens)

Следующие условно-категорические схемы неправильны (и это тоже надо знать!):

AB, В ⊨А

AB, А⊨В

Внимание! Выше даны не конкретные формулы, а схемы формул. Запись(A&B)(AB) предполагает, что вместо А и В можно подставить любую формулу КЛВ и КЛП, тогда получим конкретный вариант закона де Моргана, например,(p&q)(pq),((r&q)&p)((r&q)p) и т.п.

Для схемы закона (A&B)(A&B) ее конкретным вариантом будет, например, формула

х(Р(х)&Q(x))(xР(х)&xQ(x)) (на лекции был именно этот вариант).

На зачете можно записывать конкретные формулы: вместо А и В ставить элементарные формулы КЛВ (т.е. переменные – p,q,r,s), а – для законов логики предикатов – элементарные формулы КЛП с одноместным предикатным символом, т.е. формулы вида Р(х),Q(y) и т.п.

4. Разбор решений типового зачетного задания

Внимание!Ниже решение задачи 2 разбирается очень подробно с тем расчетом, чтобы даже совсем не умеющий ее решать студент получил достаточно информации. На зачетене требуется так подробно разбирать задачи; достаточно, например, построить таблицу и составить ее анализ (как на семинаре или на лекции) и т.п. для других заданий.

Разбор решения задачи 2

Для решения задачи необходимо понимать значения символов: p,q,r, &,Ø,º, а также какая запись является формулой и какая запись задает структуру умозаключения. Так что если не понимаете, разбирайтесь (по лекциям, учебнику или с помощью однокурсников).

*

Решение разбивается на 2 этапа:

(А) находим структуру данного умозаключения;

(В) строим совместную таблицу истинности для полученной схемы умозаключения и проверяем по ней, является ли она (схема) – а вместе с ней и исходное рассуждение – логически корректной.

(А) определение структуры умозаключения(с точки зрения КЛВ)разбивается на следующие этапы:

1. определяем, где в данном рассуждении посылки и где заключение;

2. определяем, сколько простых, различных по смыслу высказываний входит в состав данного умозаключения (высказывание простое, если в его составе нет пропозициональных связок – отрицания, конъюнкции («и», «а», «но»), дизъюнкции («или») и т.д. );

3. вводим символизацию для каждого из выделенных в 2 простых предложений: каждое предложение заменяем какой-то пропозициональной переменной (p,q,r,s);

4. находим структуру каждой посылки и структуру заключения с учетом введенной в пункте 3 символизации;

5. представляем структуру умозаключения стандартным образом: посылки записываем через запятую затем ставим знак шага вывода (отношения логического следования) -⊨и после него записываем формулу, соответствующую структуре заключения.

А. 1. Найдем посылки и заключение данного рассуждения.

В нем, между прочим, вывод предшествует посылкам (допущениям), а именно: вывод этого умозаключения: «Я дурак», после этого в тексте идет обоснование этого утверждения («а вот когда я догадался»), т.е. вводятся посылки. Если забыть о всех красотах стиля, то, унифицируя терминологию посылок и заключения, получаем следующее умозаключение:

Я скучен и легкомыслен. (1-ая посылка)

Если я умен и скучен, я не легкомыслен. (2-ая посылка)

Если я легкомыслен и умен, я не скучен. (3-я посылка)

Следовательно, (шаг вывода)

я не умен [=я дурак] (заключение, вывод).

2. Определяем, сколько простых, различных по смыслу высказываний входит в состав данного умозаключения.В данном случае имеем:

1. я скучен;

2. я легкомыслен;

3. я умен.

3. Введем(какую-нибудь)символизацию этих простых предложений.⁴Например, такую:

1. я скучен – p;

2. я легкомыслен – q;

3. я умен – r.

4. Находим структуру каждой посылки и структуру заключения с учетом введенной в пункте 3 символизации.

1-ая посылка: «Я скучен и легкомыслен».

Соединительному союзу русского языка «и» соответствует конъюнкция КЛВ - &. Поэтому

структура первой посылки:p&q.

2-ая посылка: «Если я умен и скучен, я не легкомыслен».

Во второй посылке опять присутствует конъюнкция, отрицание «не» (), а также условный способ связи: «если… то», которому в языке нашей теории соответствует связка импликация -, поэтому

структура второй посылки: (r&p)q.

Обратите внимание: предложение, которое стоит между словами «если… то», ставится передимпликацией, предложение, которое стоит после «то», ставится после импликации.Неверно(как это часто делают) передавать структуру второй посылки так:(r&p)q, или(p&q)q, - это вообще не формулы, т.е. это неосмысленные записи.

Третья посылка:

«Если я легкомыслен и умен, я не скучен».

Структура третьей посылки: (q&r)p.

Заключение:«Я не умен».

Cтуктура заключения:r.

5. Представляем структуру умозаключения стандартным образом:

p&q, (r&p)q, (q&r)p⊨r.

(В) Строим совместную таблицу истинности для полученной схемы умозаключения и проверяем по ней, является ли она (схема) – а вместе с ней и исходное рассуждение – логически корректной.

Построение совместной таблицы истинности для нескольких формул аналогично построению таблицы истинности для одной формулы. Принципиальная разница заключается в анализе этих таблиц, что определяется разницей в задачах: ради ответа на какой вопрос строим таблицы.

1. Вычисляем количество различных переменных, входящих в состав этой схемы умозаключения: = 3 (p,q,r)

2. Указываем, в какой последовательности будем вычислять значение подформул каждой формулы. В данной случае имеем (значения для каждой формулы вычисляем независимо, т.е. в принципе неважно с какой из этих четырех формул начинать работать):

1 3 2 1 3 4

p&q, (r&p)q, (q&r)p⊨r.

Над формулами p&qиrне стоит нумерация, поскольку в них надо вычислить только дно действие.

Важно понимать, где главный знак каждой формулы, т.к. наличие отношения логического следования будем определять, рассматривая столбцы именно под главными знаками формул (итоговыми столбцами).

3. Вычисляем количество строк в таблице для данной формулы. Если формула содержит nразличных переменных, то количество строк в таблице для данной формулы =2ⁿ. (Таким образом, если в состав формулы входят 2 различных переменных, то число строк в таблице истинности для такой формулы =2²=4; если в состав формулы входят 3 различных переменных, то число строк в таблице истинности для такой формулы =2³=8; если в состав формулы входят 4 различных переменных, то число строк в таблице истинности для такой формулы =2⁴=16и т.д.) В нашем случае в таблице будет 2³=8 строк.

4. Строим таблицу.

Последовательность вычислений для составных формул

1

3

2

1

3

2

Функции оценки переменных

p

q

r

p&q

(r&p)



q

(q&r)



p

⊨

r

1

и

и

и

и

и

л

л

и

л

л

л

2

и

и

л

и

л

и

л

л

и

л

+

и

3

и

л

и

л

и

и

и

л

и

л

л

4

и

л

л

л

л

и

и

л

и

л

и

5

л

и

и

л

л

и

л

и

и

и

л

6

л

и

л

л

л

и

л

л

и

и

и

7

л

л

и

л

л

и

и

л

и

и

л

8

л

л

л

л

л

и

и

л

и

и

и

5. Таблица построена. Проанализируем ее. Нас интересуют только одно: допускает лиданная структура рассуждениялогически неприемлемыйпереход от всех истинных посылок к ложному заключению или нет. Для этого рассматриваем столбцы под главными знаками формул (эти столбцы набраны жирным шрифтом). Смотрим, есть ли«плохая» строка(оценка переменныхp,q,r), в которойвсе посылки истинны, а заключение ложно (и и и л), -еслитакая «плохая» строка (оценка)есть, тосхема рассуждения логически некорректна,еслитакой плохой строкинет, тосхема рассуждения логически правильна.

Рассмотрим первую строку таблицы – оценку ₁. В ней первая посылка истинна, но вторая – ложна (см. столбец под импликацией), значит первая оценка уже не есть интересующий нас случай: (и и и л), где первые три «и» - значения посылок, а «л» - значение заключения. Если бы в схеме умозаключения было 4 посылки, то интересующий нас случай был бы (и и и и л), первые четыре «и» - оценки посылок, а последнее «л» - значение заключения.

При оценке ₂все посылки истинны.Заключение тоже истинно. Значит все нормально.

При всех других оценках первая посылка принимает значение «л» и, значит, «плохой» случай при этих оценках заведомо не реализуется (например, при ₃распределение зачений посылок и заключения такое: (л и и л), - повторю –единственныйлогически неприемлемый случайесть распределение значений (и и и л)).

Таким образом, совместная таблица показывает, что не существует такой оценки переменных p, q, r, при которой все посылки истинны, а заключение ложно.

Следовательно, данная схема умозаключения логически корректна, а вместе с ней и исходное рассуждение, по которому была получена эта схема.