§5 Уравнение шредингера для стационарных состоянии

Часто потенциальная энергия частицы явным образом не зависит от времени. Силы, действующие на частицу, а следовательно, и Uзави­сят только от положения частицы. В этих случаях уравнение Шредингера можно упростить, исключив всякую зависимость от t.В этом случае решение уравнения Шредингера раскладывается на два множителя и можно записать:

(27)

Таким образом, является произведением двух функций, одна из кото­рых зависит от времени,,а другая — от положения части­цы,. Как правило, временная зависимостьвсехфункций, характери­зующих частицы, на которые действуют стационарные силы, имеет та­кой же характер, как и в случае свободных частиц. Подставив в завися­щее от времени уравнение Шредингера (11) выражение дляв виде (27), получим

Разделим обе части на общий экспоненциальный множитель:

(28)

Уравнение (28) называется уравнением Шредингера для стационар­ных состояний.В случае трех измерений уравнение имеет следующий вид:

(29)

Уравнение Шредингера для стационарных состояний можно полу­чить и другим способом. Выразим полную энергию частицы E=Т + U через операторы и. Так как потенциальная энергияUне зависит от времени, то полная энергияЕпостоянна и оператор будет просто числом .Оператор потенциальной энергии будет, как и раньше, иметь вид , так как U = U(x),а оператор кинетической энергииравен (см. формулу (24))

Таким образом, при постоянной энергии ЕсоотношениюЕ=Т + Uсо­ответствует операторное уравнение

(30)

Умножим тождество  = на это операторное уравнение. В результа­те получим уравнение

(31)

точно такое, как (28)

Оператор полной энергии

(32)

или

называют оператором Гамильтонапотому, что он напоминает функцию Гамильтона в классической механике, выражающую полную энергию системы только через координаты и импульсы. Очевидно, что уравнение Шредингера для стационарных состоянии—можно записать в следующем простом виде:

(33)

Глава 5 приложения квантовой механики

Для решения уравнения Шредингера даже в его простейшем виде (уравнение для стационарных состояний) требуется сложный матема­тический аппарат. Поэтому, как правило, студенты начинают изучать квантовую механику только тогда, когда они хорошо владеют матема­тическим аппаратом. Но поскольку квантовая механика является теори­ей, результаты которой тесно связаны с действительностью, нужно знать методы этой теории и их приложения, чтобы в какой-то мере понять современную физику. Как мы увидим ниже, даже при довольно ограни­ченной математической подготовке можно проследить за ходом рассуж­дений, которые привели квантовую механику к ее величайшим дости­жениям.

§ 1. Частица в ящике. Квантование энергии

Вначале используем уравнение Шредингера для решения задачи о частице, движущейся назад и вперед между стенками ящика (рис. 1). В этой задаче нас интересуют три момента: 1) как решается уравнение Шредингера, когда на движение частицы накладываются ограничения; 2) характерные свойства решений этого уравнения, на­пример, такие, как ограничение энергии частицы только некоторыми определенными значениями; 3) сравнение результатов, которые получа­ются при решении задачи с помощью квантовой механики и с помощью ньютоновской механики.

Движение частицы можно определить следующим образом. Пусть частица движется вдоль оси,причем в точках и её дви­жение ограничено бесконечно твердыми стенками. При столкновении с такими стенками частица не теряет энергии, поэтому ее полная энергия остается постоянной. Формально, с точки зрения квантовой механики, потенциальная энергияUчастицы у обеих стенок ящика бесконечно велика, а между стенками она постоянна и для удобства можно считать, что она равна 0. Так как энергия частицы не может быть бесконечной, то это значит, что частица не может находиться вне ящика, поэтому ее волновая функция прии . Найдем значение функциивнутри ящика, а именно между точкамии .

Внутри ящика уравнение Шредингера имеет следующий вид:

, (1)

поскольку там . (Вместо частной производнойупотребляется пол­ная производная ,потому что в данном случаеявляется функцией только .)Уравнение (1) имеет два воз­можных решения:

; (2)

. (3)

Это можно проверить, подставив эти зна­чения в уравнение (1); сумма этих решений также является решением урав­нения.и —константы, значения ко­торых нужно определить. Эти решения должны удовлетворять основному гра­ничному условию:прии.Так как , то второе решение не может описывать ча­стицу, поскольку оно не удовлетворяет требованию, чтобыпри .Следовательно,должно быть равно,Так как , то первое решение удовлетворяет требованию, чтобыпри, номожет быть равнопри,только когда

, (4)

Этот результат объясняется тем, что синусы углов равны.

Из соотношения (4) видно, что энергия частицы может принимать только определенные значения, которые являются собственными зна­чениями. Эти собственные значения, образующие систему энергетических уровней,равны

, (5)

Целое число ,соответствующее уровню с энергией,называетсяквантовым числомэтого уровня. Частица, заключенная в ящике, не может иметь произвольную энергию: из-за ограничения ее движения волновая функция частицы должна удовлетворять определенным тре­бованиям, в результате чего она может иметь только значения энергий, определяемые соотношением (5).

Существен тот факт, что электрон не может иметь нулевую энергию. Если бы энергия электрона была равна, то и его волновая функциявсюду внутри ящика была бы равна, что означало бы, что электрон не может находиться в ящике. Этот факт, а также ограничение возмож­ных значений энергии набором определенных дискретных значений являются квантовомеханическими результатами, не имеющими аналога в классической механике, где энергия может принимать любые значения, в том числе и равные. Согласно принципу не­определенности значение энергиитакже неприемлемо. Поскольку частица заключена в ящике, неопределенность ее положения равна—ширине ящика. Следовательно, неопределенность ее импульса должна быть,что не согласуется со значением. По­скольку энергия частицы в ящике полно­стью кинетическая, импульс, соответству­ющий энергии ,равен ,что вполне согласуется с прин­ципом неопределенности.

Почему же мы не замечаем кванто­вания энергии в нашей повседневной жизни? Мраморный шарик, катающийся взад и вперед между стенками располо­женного горизонтально ящика с гладким дном, конечно, может иметь любую ско­рость и, следовательно, любую энергию, которую мы сообщим ему, в том числе и равную нулю. Чтобы убедиться в том, что соотношение (5), будучи справед­ливым в микромире, не противоречит на­шим непосредственным наблюдениям, вычислим допустимые уровни энергии для электрона в ящике ширинойи для шарика массой 10г,находящегося в ящике шириной 10см.

В первом случае кгим,поэтому допустимые уровни энергии электрона есть

Минимальная энергия, которую может иметь электрон, равна ,она соответствует. Следующие значения его энергии , , и т. д. (рис.2). Эти уровни энергии распо­ложены довольно далеко друг от друга, так что квантование энергии электрона в таком ящике было бы весьма заметным, если бы такой ящик действительно существовал.

Во втором случае т== 10гиL= 10см,так что допустимые уров­ни энергии

.

Минимальная энергия, которую может иметь шарик, равна и соответствует . Скорость шарика с такой кинетической энергией была бы всегом/секи, следовательно, его нельзя было бы отличить от неподвижного шарика. Разумная скорость, которую может иметь шарик, напримерм/сек,соответствует энергетическому уровню с квантовым числом! При этом допустимые уровни энергии расположены настолько близко, что никак нельзя определить, занимает ли шарик один из уровней энергии, описываемых 'соотношением (5), или имеет какую-то другую энергию. Таким образом, в нашей повсед­невной жизни квантовые эффекты незаметны, чем и объясняется успех ньютоновской механики.