§ 2. Частица в ящике: волновые функции

В предыдущем параграфе мы установили, что в ящике волновая функция частицы, имеющей энергию ,выглядит следующим образом:

.

Поскольку возможные значения энергии равны

,

то, подставив вместо,получим:

. (6)

Такой вид имеют собственные функции, соответствующие собственным значениям энергии .Легко показать, что эти собственные функции удовлетворяют всем требованиям, о которых мы говорили выше: каж­дому квантовому числусоответствуетоднозначная функция,и и являются непрерывными функциями. Кроме того, интеграл отпо всему пространству имеет конечное значение, как это видно из интегрированияот до (так как местонахождение частицы по предположению ограничено этими пределами):

(7)

Для нормировки нужно выбрать такое значение,при котором ве­личина равнавероятностиобнаружения частицы в точке,а не просто пропорциональна этой вероятности. Если значениеравно ,то должно быть справедливо соотношение

, (8)

так как . Это соответствует математическому утверждению, что частица всегда где-то находится. Сравнивая соотношения (7) и (8), мы видим, что волновые функции частицы в ящике

нормированы, если

. (9)

Таким образом, нормированные волновые функции частицы имеют следующий вид:

. (10)

Нормированные волновые функции , и вместе с плотностями вероятностей ,и изображены на рис. 3. В то время какможет принимать как положительные, так и отрицательные значе­ния, величина всегда положительна, поскольку ее значение при данном равно вероятности обнаружения там частицы (так как нормирована). В любом случае на границах ящика при и .Вероятность нахождения частицы в определенной точке внутри ящика может сильно меняться при разных квантовых числах. Например, в середине ящика имеет максимальное значение, рав­ное ,в то время как равно нулю. Частица на самом низком энергетическом уровне с имеет большую вероятность нахождения в середине ящика, в то время как в следующем более высоком состоя­нии с частицаникогдане может находиться в этом месте! Соглас­но классической физике вероятность нахождения частицы в любой точке внутри ящика одинакова.

Волновые функции, изображенные на рис.3, похожи на возмож­ные колебания струны, закрепленной с обоих концов. Это следствие

того факта, что волны, возникающие в натянутой струне, и волны, соответствующие движущейся частице, удовлетворяют волновым уравнениям одинакового вида, поэтому когда на каждый вид волн накладываются одинаковые ограничения, то и решения получаются одинаковые.