§2. Уравнение шредингера, зависящее от времени.

В квантовой механике волновая функция аналогична смещениюy, возникающему при движении волны по струне. Однако в отличие отyфункцияне является измеримой величиной и поэтому может быть комплексной. В связи с этим будем считать, что функция, отвечающая движению вдоль осиx, имеет вид:

(2)

Поскольку

, (3)

формулу (2) можно переписать в виде:

(4)

Выражение (4) является записанным в математической форме волновым представлением свободной частицы с полной энергией E и импульсом p, движущейся в направлении +x.

Представление волновой функции в виде (4) справедливо только для свободно движущихся частиц. Нас же больше интересует движение частиц, на которые накладываются различные ограничения. Интересным случаем такого рода является, например, движение электрона, связанного с атомом электрическим полем ядра атома. Выведем основное дифференциальное уравнение для, которое затем решим для конкретных случаев. Начнем с того, что дважды продифференцируем выражение (4) поx:

(5)

и один раз – по t:

(6)

При скоростях, малых по сравнению со скоростью света, полная энергия Eчастицы равна сумме ее кинетическойи потенциальнойUэнергий, причемU, как правило, зависит от положения частицы x и времениt:

E=p²/2m+U (7)

Умножив обе части этого соотношения на волновую функцию , получим

(8)

Согласно формулам (5) и (6)

(9)

и

(10)

Подставив эти выражения для ив (8), имеем:

Уравнение называется зависящим от времени уравнением Шредингера. В трехмерном пространстве оно имеет вид

(11)

причем теперь потенциальная энергия является некоторой функцией от x,y,zиt. Если Uизвестно, то уравнение Шредингера может быть решено относительно волновой функциичастицы и затем для конкретныхx,y, zиtможет быть вычислена плотность вероятности.

Выражение (12)

часто записывают в сокращенном виде , где- оператор Лапласа в декартовых координатах, который по определению есть

(13)

Оператор представляет собой математическую запись действия, которое должно быть выполнено над выражением, следующим за оператором. Если, например, в уравнении встречается оператор Лапласа , то это значит, что нужно взять вторые производные по всем координатам от выражения, которое следует за этим оператором (в нашем случае, например, от волновой функции). Преимущество записивместо (12) в том, чтоне обязательно должно быть выражено в декартовых координатах; в этом случае зависящее от времени трехмерное уравнение Шредингера имеет одинаковый вид

(14)

во всех системах координат при условии, что оператор выражен в каждой системе соответствующим образом. Часто подходящий выбор системы координат облегчает решение дифференциального уравнения, например, в случае атома водорода уравнение Шредингера наиболее легко решается относительнопри использовании сферических координат, а для молекулярного иона водорода(устойчивой системы, состоящей из двух протонов и электрона) его легче решить с использованием эллиптической системы координат.

Вспомним, каким же способом мы вывели уравнение Шредингера, исходя из волновой функции свободно движущейся частицы. Обобщение уравнения Шредингера от частного случая свободной частицы, когда потенциальная энергия Uпостоянна, на общий случай, когда частицы испытывает действие произвольных сил, меняющихся в пространстве и времени, весьма правдоподобно, но нельзя заранее доказать, что это обобщение справедливо. Можно только предположить, что уравнение Шредингера правильно, и использовать его для решения различных физических задач, а затем сравнить результаты расчетов с результатами опытов. Если эти результаты совпадут, то значит предположения, сделанные при выводе уравнения Шредингера, справедливы; если же результаты не совпадут, то сделанные предположения неправильны, и нужно искать другой подход к проблеме. Другими словами, уравнение Шредингера нельзя вывести из «основных законов», оно само является «основным законом».

В действительности оказалось, что предсказания, сделанные с помощью уравнения Шредингера, полностью совпадают с результатами экспериментов.