§3 Средние значения

Решив уравнение Шредингера для частицы, находящейся в кон­кретных физических условиях, мы получаем волновую функцию (x,y,z,t), которая содержит всю информацию о частице (в рамках принципа неопределенности). Эта информация выражается в виде ве­роятностей, а не в виде конкретных чисел, за исключением тех случаев, когда некоторые переменные являются квантованными. Вычислим в ка­честве примерасреднее значение положения частицы, описываемой волновой функцией(x,t).Это значение мы получили бы, если бы в какой-то момент времени tэкспериментально определяли положение большого числа частиц, описываемых одной и той же волновой функцией, и затем усреднили бы результаты.

Чтобы нагляднее представить себе этот прием, ответим сначала на несколько иной вопрос: каково среднее положение большого числа частиц, расположенных вдоль осиxтак, что N₁частиц находится в точ­кеx₁ , N₂частиц находится в точкеx₂и т.д. В этом случае среднее по­ложение соответствует центру масс распределения частиц

Когда же мы имеем дело с одиночной частицей, мы должны заменить число N_iчастиц в точке x_iвероятностьюР_iобнаружения частицы в ин­тервале dxвблизих_i. Эта вероятность равнаР_i=|_i|²dx, где_i — значение волновой функции частицы приx = x_i. Сделав эту замену и перейдя от суммирования к интегрированию, получим следующее выра­жение для среднего значения положения одиночной частицы:

(15)

Если волновая функция нормирована, то знаменатель выражения (15) равен вероятности того, что частица находится где-то в интерва­ле отх = -дох =+, т. е. он равен единице. Следовательно,

(16)

Согласно этой формуле находится в центре масс ||²,иначе говоря, если построить график зависимости||²отхи рассмотреть площадь, ограниченную полученной кривой и осьюх,тобудет соответствовать центру равновесия этой площади.

Выражение (16) обычно записывают в следующей эквивалентной форме:

(17)

Аналогичный способ можно использовать для вычисления среднего значения любой величины [например, потенциальной энергии U(x)],которая является функцией положенияхчастицы, описываемой волновой функцией. Это значение равно

(18)

Эта формула справедлива даже в том случае, если G(x)зависит от вре­мени, поскольку всегда нужно вычислять при определенном зна­ченииt, так как сама функциязависит от t.

§4 Операторы

Описанный способ вычисления средней величины неприменим, од­нако, к таким динамическим величинам, как импульс частицы ри ее полная энергияЕ.Казалось бы, средние значенияриЕможно опреде­лить с помощью соотношений

Эти формулы слишком прямолинейны; дело в том, что поскольку =(х,t), то для выполнения интегрированияриЕнеобходимо вы­разить как функциихиt.Но в соответствии с принципом неопределен­ности таких функцийр(х,t)иЕ(х,t)не существует; как только точно определены значенияхиt,то согласно соотношениям мы уже, в принципе, не можем определить точно значенияр иЕ.Также нельзя точно определить значенияtих,если точно известны значенияЕ и р(как это имеет место, например, в случае стационарных состояний, таких, как энергетические уровни в атомах).

В классической физике таких ограничений не существует, посколь­ку в макроскопическом мире принципом неопределенности можно пре­небречь. В квантовой физике, решив задачу о движении частицы с помощью уравнения Шредингера, можно определить только волновую функцию. Описание движения частицы, так же как и ее начального состояния, носит вероятностный характер, а не выражается языком конкретных цифр.

К способу оценки иможно прийти, дифференцируя похиtвол­новую функцию свободной частицы:

В результате дифференцирования получим

Эти выражения можно переписать в более удобном виде:

(19)

(20)

Теперь видно, что динамическая величина рв некотором смысле соот­ветствует, дифференциальному оператору ,а динамическая величинаЕ — дифференциальному оператору .

Обычно операторы обозначают буквами со шляпкой. Так, импульсу рсоответствует оператор,а полной энергииЕ — оператор.Согласно (19) и (20), эти операторы имеют следующий вид:

или для трехмерного случая (21)

(22)

Хотя мы показали только, что соотношения (21) и (22) справед­ливы для свободных частиц, они справедливы и в более общем случае так же, как и уравнение Шредингера. Для подтверждения заменим уравнение для полной энергии частицыЕ = Т + Uоператорным урав­нением

(23)

Поскольку кинетическую энергию можно выразить через импульс Т=р²/2т,имеем

(24)

и уравнение (23) приобретает вид

(25)

Умножив почленно тождество  = на уравнение (25) получим

(26),

которое является уравнением Шредингера. Таким образом, постулирование соотношений (21) и (22) равносильно постулированию уравнения Шредингера.