Глава 4. Уравнение Шредингера

Согласно Борну квадрат модуля функции определяетdP вер-ть того, что частица будет обнаружена в пределах объемаdV dP=A²dV=A*dV.

Основное различие между ньютоновской механикой и квантовой механикой заключается именно в том, что они описывают. Ньютоновская механика имеет дело с движением частицы под действием приложенных сил, и она считает само собой разумеющимся, что величины, характеризующие положение частицы, ее массу, скорость и ускорение, поддаются измерению. Это допущение, конечно, вполне соответствует нашему повседневному опыту, и ньютоновская механика правильно описывает поведение движущихся тел, а предсказываемые ею значения наблюдаемых величин согласуются с результатами измерения этих величин.

Квантовая механика также дает нам соотношения между наблюдаемыми величинами, но из-за принципа неопределенности, действующего в мире атомов, здесь меняется смысл понятия «наблюдаемая величина». Согласно принципу неопределенности нельзя одновременно точно измерить положение и импульс частицы, в то время как согласно ньютоновской механике эти величины в любое мгновение имеют вполне определенные, поддающиеся измерению значения. Величинами, с которыми имеет дело квантовая механика, являются вероятности. Например, вместо того чтобы утверждать, что радиус электронной орбиты, соответствующей основному состоянию атома водорода, всегда точно равен 5.310^-11м, квантовая механика говорит, что этонаиболее вероятныйрадиус. Если мы проведем соответствующие измерения, то в большинстве из них получим разные значения, больше или меньше указанной выше величины, но наиболее вероятным среди них окажется значение, равное 5.310^-11м.

На первый взгляд может показаться, что квантовая механика является «бледной тенью» ньютоновской механики, но при более внимательном рассмотрении обнаруживается поразительный факт: ньютоновская механика – всего лишь приближенное изложение квантовой механики. Определенность, присущая ньютоновской механике, иллюзорна: согласие ее предсказаний с экспериментом объясняется тем, что микроскопические тела состоят из такого большого количества атомов, что отклонение их поведения от среднего незаметно. Вместо двух систем физических законов (одной –для макроскопического, другой – для микроскопического мира) следует пользоваться только одной системой, а лучшей из них в настоящее время является квантовая механика.

§1. Волновая функция

Величиной, с которой оперирует квантовая механика, является волновая функция частицы. В то время, как сама волновая функцияне имеет физического смысла, квадрат ее абсолютной величины² (или*, если- комплексная), вычисленный для определенного момента времени и определенной точки пространства, пропорционален вероятности обнаружить частицу в этой точке в указанное время.Задачей квантовой механики является нахождение волновой функции  частицы, свободное движение которой ограничено действием внешних сил.Прежде чем мы рассмотрим нахождение волновой функции, выясним некоторые условия, которым она должна удовлетворять.1)Во-первых, поскольку значение², вычисленное в некоторой точке, пропорционально вероятностиPобнаружения частицы, описываемой функцией, в этой точке, то интеграл от²по всему пространству должен бытьконечным, так как в любом случае частицагде-тодолжна быть. Если, то частицы не существует, если интеграл равен, то частица одновременно находится всюду. По определению значение² не может быть отрицательным или комплексным, таким образом, еслисоответствует реально существующему объекту, то остается единственная возможность – интеграл должен иметь конечное значение.

Обычно удобней считать, что значение ² в точностиравновероятностиPобнаружения частицы, описываемой функцией, а не просто пропорциональноP. Если значение²равноP, то должно быть справедливо соотношение:

(1)

поскольку .

Это равносильно утверждению, что частица всегда где-то находится, записанному в математической форме. Волновую функцию, для которой выполняется соотношение (1), называют 2) нормированной. Любую волновую функцию можно пронормировать, умножив на соответствующую константу.

Функция должна быть не только нормируемой, но 3)и однозначной, посколькуPможет иметь только одно значение в каждой точке пространства в определенный момент времени. Следующим условием, которому должны удовлетворять как сама функция, так и ее частные производные, является их4) непрерывностьво всех точках пространства.

Уравнение Шредингераявляется волновым уравнением относительно переменной, оно является таким же фундаментальным уравнением квантовой механики, как и второе уравнение движения в ньютоновской механике.