Упражнения

1. Что соответствует в естественном языке терму ЯЛП? Что формуле?

2.Определите, являются ли следующие последовательности символов осмысленными (правильно построенными) выражениями ЯЛП¹(то есть термами или формулами). Там, где не указана местность функтора или предиката, считайте, что она та, которая и требуется записью (Например, в Р(х) Р – одноместный предикат, а в Р(а,у) - двухместный).

1. ⁺ xy

2. ⁺ (x,y)

3. ⁺ P²(x&y)

4. ⁺ Øа

5. ⁺ h³(g¹(f²(a,b)))

6. ⁺ ¬∀x(R(x)⊃∃y(P(y)&Q(x,y)))

7. a

8. x

9. f²(x,x)

10. x₁₈₂₄

11. f²(h²(a,b))

12. h¹(f²(a,h¹(z)))

13. f²h¹(a)

14. f¹(P¹(a))

15. f¹(a)& f¹(c)

16. P(z₁)

17. $P(x)

18. P(x,х)

19. "х f¹(x)

20. "х f¹(x)=h¹(h¹(x))

21. "aP(a)

22. P(a)

23. y¹(x)

24. Q²

25. Q¹("х)

26. ØR(x,y)

27. $xP(a)

28. Ø"xØ"y R(x,y)

29. $y(Q¹Р¹)

30. P¹(Q¹(a))

31.  $x"yÉ"хØ$y

32. $x"yR(x,y)ÉØ$y"xØR(x,y)

3. Укажите граф, соответствующий процедуре построения данного терма / формулы.

а) g(a, f(b))

б) Ø$x "y R(x,y) "х$уR(x,y)

в) $x(R(x)  "у(ØR(x,y) ØR(x,y))

4. Укажите логические и нелогические константы, входящие в состав данных формул.

(а) P(x,c)

(б) "xP(x,c)

(в) "xP(x,c)

(г)  (Т  (∀x∃y((R(x) & R(y))  Q(x,y)))

(д) $x("yQ(b,c,y)  R(x,y))Ú("z (Q (z)  R(z,b)))

Область действия кванторов. Свободные и связанные вхождения переменных в формулу. – см. лекцию

5. Укажите область действия каждого квантора в следующих формулах.

(а) "xP(x,c)R(x)

(б) "x(P(x,c)R(x))

(в) $x("yQ(y)ÉR(x,y))Ú("zQ(z)ÚR(z,x))

(г)⁺ "x(P(x,y₁)yQ(y,x))"z(R(x,y)R₁(y, x))

Зачем различать свободные и связанные вхождения переменных в формулу? Свободные вхождения переменных можно заменять на имена объектов, а для связанных вхождений такая замена – незаконна, бессмысленна. Пример Рассмотрим два выражения (записанные в прикладном языке арифметики) (1) x+y=7 (2) хуx+y=7. Выражение (1) ни истинно, ни ложно. Все зависит от того, что мы припишемв качестве значений переменным х и у (какими числами их заменим, точнее – именами каких чисел). Выражение (2) уже есть (истинное) предложение (оно утверждает, что есть такие 2 (допустим, натуральных) числа, сумма которых есть число 7). Замена переменных на имена конкретных объектов в этом случае бессмысленна.

6. Определить, какие вхождения переменных являются свободными, а какие связанными в следующих формулах:

а. "x P (x,c)

б."x (P(x)Q(y))

в. $x("yQ(y)ÉR(x,y))Ú("z Q (z)ÚR(z,x))

г. "x(P(x,y)É$yQ(y,z,x))

д.⁺ "x(P(x,y)Q(y,x))"z(R(x,y)R₁(y, x))

е.⁺x(P(x)Q(y))

ж.⁺ "xy(P(x,y)Q(y,x))"xy(R(x,y)R₁(y, x))

Формула ЯКЛП называется замкнутойилипредложением, е.т.е. она не содержит свободных переменных.

Термин предложениеупотребляется, таким образом, в двух смыслах: предложениеестественного языкаи предложение (формального) языка логики предикатов(= формула без свободных переменных)

7. Какие из следующих формул являются предложениями ЯКЛП?

a. P¹(x)

b. P¹(a)

c. xP¹(x)

d. Q²(c,y)

e. Q³(a₂,a₂,c)

f. x(P¹(x)& Q²(c,y))

g. y(P¹(y)& Q²(c,y)) (yR¹(y)& Q²(c,y))

h. xx₄y((R(x₄)& R(x)& R(y))Q³(x,y,x₄))

i. xx₄y(R(x₄)& R(x)& R(y))Q³(x,y,x₄)

j.⁺ zx(R²(x,z)Q²(x,x))Q³(x,z,z)

Договоренность Пусть 1,2,…,n– какие-то предметные переменные (х, х1, у, у2, у1и т.п.) и А – какая-то формула. Вместо 12…nА будем писать1,2,…,nА. Вместо 12…nА будем писать1,2,…,nА. Например, вместо xx4y(Р(x,y)S(х4,у)Q(х,х4)) будем писатьx,x4,y(Р(x,y)S(х4,у)Q(х,х4)).