11

Лабораторная работа Процессы установления тока при зарядке и разрядке конденсатора Теоретическая часть

Пусть в некоторый момент времени обкладки заряженного конденсатора соединяют проводником (рис.1). Конденсатор начнет разряжаться, и по проводнику потечет ток. Считая ток в проводнике положительным, когда он течет от положительной обкладки к отрицательной, можем записать

Рис. 1

где I, q и U - мгновенные значения тока, заряда положительной обкладки и разности потенциалов между обкладками, C - емкость конденсатора, R - сопротивление проводника. Исключая из этих уравнений I и U, получим

.

Интегрируя это уравнение, найдем

, (1)

где q₀ - начальное значение заряда конденсатора, а  - постоянная:

,

имеющая размерность времени. Она называется временем релаксации. Через время  заряд конденсатора убывает в e раз. Дифференцируя (1), находим закон изменения тока во времени:

,

где - начальное значение тока,U₀ - начальное значение напряжения на конденсаторе.

В процессе разрядки конденсатора в резисторе выделяется тепло. За время, в течение которого конденсатор разрядится полностью, количество выделившейся теплоты

равно начальной энергии конденсатора. Интересно отметить, что с увеличением сопротивления R разрядка конденсатора будет происходить медленнее, однако общее количество выделившейся на резисторе теплоты за все время разряда не зависит от сопротивления R и равно начальной энергии конденсатора.

Аналогично решается задача о зарядке конденсатора. Пусть в некоторый начальный момент времени к незаряженному конденсатору подключается источник тока с постоянной ЭДС E . С этого момента начинается процесс зарядки конденсатора от источника ЭДС E через сопротивление R. Протекающий через источник ЭДС ток приводит к накоплению положительного заряда на обкладке, подключенной к положительному полюсу источника питания (к которой направлен ток), на другой обкладке накапливается отрицательный заряд. Считая ток в проводнике положительным , когда он направлен от "+" источника ЭДС, получим

.

Напряжение на конденсаторе

в процессе его зарядки увеличивается, а на резисторе соответственно уменьшаться. По закону Ома

(предполагается, что внутреннее сопротивление источника ЭДС пренебрежимо мало).

Из этих уравнений следует

.

Полученное неоднородное дифференциальное уравнение сведется к однородному, если его записать в виде

.

Решая это уравнение, получим

.

Значение постоянной интегрирования B найдем из условия, что в начальный момент времени конденсатор не заряжен: q = 0 при t = 0. Это дает B = -EC, и, следовательно,

.

Для тока получаем

.

В начальный момент времени ток максимален и равен . Приток стремится к нулю, а заряд - к предельному значению.

В процессе зарядки конденсатора источник ЭДС совершает работу

,

а на резисторе выделяется тепло

.

В результате энергия конденсатора возрастает на величину

.

Приведенные выше решения получены в предположениях, что мгновенное значение силы тока одно и то же во всех поперечных сечениях провода, соединяющего обкладки конденсатора, а мгновенное значение электрического поля такое же, как в электростатике при тех же зарядах на обкладках конденсатора. Токи и поля, удовлетворяющие этим условиям, называются квазистационарными. Приближение квазистационарных токов перестает быть справедливым при очень быстрых изменениях тока и электрического поля. В большинстве электрических схем, не связанных с преобразованием электромагнитных волн, отклонение от квазистационарности обычно не существенно.

Инерционность процессов зарядки и разрядки конденсатора лежит в основе их широкого практического использования, в частности, при преобразовании переменного тока в постоянный, для разделения постоянной и быстропеременной составляющих тока, подавления помех и так далее.

Вместе с тем, наличие емкости между различными проводниками, входящими в состав электронных приборов (диодов, транзисторов, микросхем на их основе), ограничивает их быстродействие. Увеличение быстродействия цифровой схемы (например, микропроцессора) сопровождается уменьшением длительности импульсов тока и напряжения, которые должна "обрабатывать" схема. Однако продолжительность импульсов не может быть сделана меньше постоянной времени  RCпоскольку на такие короткие импульсы схема не будет успевать "реагировать".