Лабораторная работа 1.

Моделирование электростатических полей с помощью квазистационарного электрического поля

Теоретическую часть, описание экспериментальной установки, указания по выполнению упражнений 2, 3 см. в методическом пособии "Лабораторные работы по курсу общей физики. Электромагнетизм" (С.Н.Безрядин и др.)

Упражнение 1. Изучение поля, созданного параллельными заряженными стержнями

Модуль напряженности электрического поля, созданного бесконечно длинным равномерно заряженным стержнем на расстоянии r > a от его оси, определяется формулой

, (1)

где  - линейная плотность заряда стержня, a - радиус стержня (эту формулу легко получить, воспользовавшись теоремой Гаусса).

Найдем модуль напряженности поля, созданного двумя такими параллельными стержнями, расположенными на расстоянии 2l друг от друга, один из которых заряжен с линейной плотностью (+), а другой - (-). Проще всего это сделать для точек, расположенных на осях симметрии. Так для точек, расположенных на оси Оy (рис.1), получим

, (2)

а для точек, расположенных между стержнями на оси x , -

, (3)

где

(4)

- модуль напряженности электрического поля в начале координат.

При выводе этих формул предполагалось, что расстояние между стержнями 2l >> a и, следовательно, заряд по поверхностям стержней распределен практически равномерно.

Несколько сложнее найти модуль напряженности поля в произвольной точке. В этом случае поле E удобно выразить через расстояния r₁, r₂ , задающие положение точки, в которой определяется поле:

. (5)

(см. рисунок и вывод этой формулы в Приложении). Нетрудно показать, что из этой общей формулы (5) следуют и частные результаты (2), (3)

Линейную плотность заряда  непосредственно измерить не удается, поэтому выразим ее через разность потенциалов между стержнями. Для этого проинтегрируем формулу (3) в пределах от -(l - a) до (l - a), в результате чего получим

,

и

. (6)

В упражнении экспериментально проверяются формулы (6), (2), (5). Измеряется потенциал в различных точках поля. По результатам измерений (x, y) определяется напряженность электрического поля при помощи соотношений

E = -grad (

или .

Выполнение упражнения

1. Поместите в ванну с электролитом электроды в виде стержней. Подайте на них напряжение U₀ = 10 В. Определите напряженность электрического поля в точке с координатами (0,0). Так как в этой точке вектор напряженности параллелен оси Оx, то достаточно найти только проекцию вектора напряженности на эту ось. Для этого следует измерить разность потенциалов  между точками с координатами (- x/2, 0) и (+x/2, 0) и рассчитать

.

Частная производная при этом заменяется отношением малых приращений. Точность такого приближения увеличивается с уменьшением x, однако при очень малых значениях x трудно с приемлемой точностью измерить . В данном эксперименте предлагается принять x = 2 см.

Рассчитайте также величину E₀ по формуле (6) и сравните с найденным выше экспериментальным значением.

2. Проверьте экспериментально формулу (2). Для этого измерьте напряженность поля в точках, лежащих на оси Оy, постройте график зависимости E(y). На тот же график нанесите точки теоретической зависимости, представленной выражением (2).

3. Измерьте модуль вектора напряженности поля в произвольной точке с координатами (x, y) (выберите эту точку по указанию преподавателя). Для этого сначала определите проекции вектора на координатные оси

, ,

а затем рассчитайте модуль вектора E. Полученное значение сравните с теоретическим, найденным при помощи (5).

При подготовке к работе:

1. Приведите в конспекте подробный вывод формул (1)-(6). Вы должны уметь выводить эти формулы самостоятельно.

2. Изобразите примерные графики зависимостей E(y) и E(x), определяемые формулами (2) и (3).

3. Продумайте свои действия при выполнении пп. 2, 3 экспериментальной части задания.

Приложение

Напряженность поля в точке, определяемой векторами и , равна векторной сумме напряженностей полей обоих стержней:

По теореме Гаусса

.

Модуль вектора

.

Квадратный корень в последнем выражении, как видно из рис.2, равен (по теореме косинусов) расстоянию между стержнями 2l . Поэтому

.

Рис.1

Рис.2

4