1.6. Случайные погрешности измерений

Случайная погрешность - это составляющая погрешности результата измерений, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) в серии повторных измерений, проведенных с одинаковой тщательностью, одного и того же размера ФВ. Отметим следующие существенные стороны данного определения.

1. Случайные погрешности неизбежны и неустранимы и всегда присутствуют в результатах измерений. Они вызывают рассеяние результатов при многократном и достаточно точном измерении одной и той же величины, вызывая различие результатов в последних значащих цифрах результата.

2. Случайные погрешности - это погрешности, в появлении которых нет закономерности, кроме той, что предсказать конкретное значение их в конкретном результате невозможно. Численные значения случайных погрешностей являются случайными числами.

3. Выявить наличие случайных погрешностей и их значения можно только выполняя повторные измерения, то есть производя ряд измерений. Однако, априорное утверждение о их наличии бесспорно верное, поскольку подтверждается практикой.

Имеются два фундаментальных положения, подтвержденных практи­кой:

- при большом числе измерений случайные погрешности одинакового значения, но разного знака встречаются одинаково часто;

- бóльшие (по абсолютному значению) погрешности встречаются реже, чем малые.

Из первого положения следует важный для практики вывод, что при увеличении числа измерений случайная погрешность результата, полученного из ряда измерений, уменьшается вследствие того, что сумма погрешностей отдельных измерений данной серии стремится к нулю, то есть

. (1.4)

1.7. Способы оценивания и выражения случайных погрешностей

Численное значение случайной погрешности является мерой рассеяния результатов измерений, то есть явления несовпадения результатов измерений одной и той же ФВ в ряду измерений. Экспериментальное оценивание случайных погрешностей производится путем формирования рядов равноточных измерений. В теории случайных величин предлагаются несколько характеристик рассеяния. Соответственно, имеется несколько способов выражения случайной погрешности.

Размах результатов измерений R_n - одна из наиболее простых оценок рассеяния результатов единичных измерений ФВ, образующих ряд (выборку из n измерений), вычисляемая по формуле R_n = x_max – x_min, где x_max и x_min - наибольшее и наименьшее значения ФВ в данном ряду измерений. В некоторых случаях, особенно при малых n ≤ 6, размах является приемлемой оценкой рассеяния результатов измерений, ибо имеет связь со средней квадратической погрешностью единичного измерения (в ряду равноточных измерений).

Средняя квадратическая погрешность (СКП) единичного измерения (однократного измерения в ряду равноточных многократных измерений) - ­обобщенная характеристика рассеяния результатов, полученных в ряду независимых равноточных измерений одной и той же ФВ, вследствие влияния случайных погрешностей, вычисляемая по формуле:

, (1.5)

где S - средняя квадратическая погрешность единичного результата измерений, входящего в ряд из n измерений; x_i - результат отдельного измерения в ряду измерений;

- среднее арифметическое из результатов n измерений.

Средняя квадратическая погрешность является важнейшей для оценки достоверности результатов. Рассмотрим некоторые ее свойства, вытекающие из признания того, что со случайными погрешностями можно обращаться как со случайными величинами и использовать математический аппарат теории вероятностей и математической статистики.

1. Средняя квадратическая погрешность является эффективной оценкой погрешности измерений, то есть математическое ожидание величины (S – σ)² минимально.

2. Существует параметр рассеяния σ, который присущ генеральной совокупности результатов измерений при числе измерений n → . Значение СКП S, найденное по выборке конечного объема, является приближенным значением для σ, причем . В эксперименте с выборкой конечного объема определяют не σ, аS, но найденное значение S является эффективной оценкой для σ.

3. Для случаев, когда для большей надежности получения удовлетворительного результата выполняют k рядов равноточных рядов измерений, формула для вычисления СКП единичного измерения из всех рядов имеет вид

, (1.6)

где - сумма сумм квадратов отклонений от средних значений в m рядах;

n - число измерений в ряду; N - общее число измерений во всех рядах; m - число рядов.

4. В практике при ограниченном числе измерений часто необходимо знать погрешность, с которой определяется значение СКП. В этом случае для нормального закона распределений (распределения Гаусса) применяются формулы:

; (1.7)

, (1.8)

где ΔS и ΔS_m - соответственно средние квадратические погрешности определения S и S_m.

5. Средняя квадратическая погрешность результата косвенных измерений величины, выражаемой функцией φ измеряемых величин x₁, x₂, ..., x_n, вычисляется по формуле:

, (1.9)

где S₁, S₂, ..., S_n - СКП результатов величин x₁, x₂, ..., x_n.

Если сделан ряд измерений и результатом измерения считается среднее арифметическое значение n результатов единичных измерений , то интерес представляет погрешность, в том числе и СКП, среднего арифметического - . В отличие от СКП единичного измерения, которую еще называют СКП ряда, величину называют СКП результата (имея в виду, что результат - это среднее арифметическое ряда). Средняя квадратическая погрешность результата измерений , полученного как среднее арифметическое из рядаn равноточных измерений, определяется по формуле

, (1.10)

то есть СКП среднего арифметического в раз меньше СКП единичного измерения.

Доверительный интервал погрешности результата измерений - это интервал значений случайной погрешности, внутри которого с заданной вероятностью находится искомое (истинное) значение погрешности результата измерений. Доверительный интервал определяется зоной, равной 2tS для каждого измерения в ряду измерений и для результата измерений как среднего арифметического. Значение величин и для каждого ряда измерений является также случайной величиной. Распределение этой случайной величины описывается законом Стьюдента с плотностью вероятности, зависящей от числа измерений n.

На практике часто необходимо решить следующую задачу: ­определить с заданной вероятностью доверительный интервал для случайной погрешности результата n измерений. Начальное условие: ­задается вероятность, с которой внутри определяемого (искомого) интервала располагается результат. Если результат является средним арифметическим значением результатов n единичных измерений, то определяют , то есть СКП результата. Посколькураспределена по закону Стьюдента, то по таблицам табулированных значений этого распределения определяют, на какое число t необходимо умножить значение , чтобы с заданной вероятностьюP истинное значение измеряемой величины находилось в интервале .

Средняя арифметическая погрешность единичного измерения (в ряду измерений) - это обобщенная характеристика рассеяния отдельных результатов равноточных независимых измерений, входящих в ряд из n измерений, вычисляемая по формуле:

, (1.11)

где r - средняя арифметическая погрешность;

- результат i-го измерения, входящего в ряд измерений;

- среднее арифметическое из n значений величины;

- абсолютное значение погрешности i-го измерения.

В заключение приведем соотношения, связывающие СКП с размахом и средней арифметической погрешностью. Если рассеяние результатов измерений x_i подчиняется нормальному распределению, то математическое ожидание для средней арифметической погрешности

. (1.12)

Поэтому можно приближенно считать, что

. (1.13)

Связь СКП с размахом можно выразить приближенной формулой

, (1.14)

которая с достаточной для технических измерений точностью справедлива при n < 10. Более точно можно записать:

, (1.15)

где С зависит от числа измерений и определяется из таблицы:

n	5	10	20	30	100
C	2,3	3,1	3,7	4,1	5,0

Точность результата измерений - это характеристика качества измерения, отражающая близость к нулю погрешности его результата. «Точность» - термин распространенный, особенно, в повседневном техническом языке. Он отражает некоторое обобщенное образное представление о результате измерения. Обычно имеют в виду, что чем меньше погрешность результата, тем больше его точность.

Точность результата измерений обусловлена несколькими основными факторами:

- свойствами и качеством средств измерений;

- внешними условиями измерений;

- принятыми методами измерений;

- квалификацией операторов при ручных (неавтоматизированных) измерениях.

Кратко рассмотрим эти факторы в следующих разделах.

23