2.2 Элементы теории множеств, отношения, функции и преобразования, алгебраические структуры

То, что Георг Кантор своей теорией множеств произвел революцию в математике, общеизвестно. Понятие множества принадлежит к числу первоначальных математических понятий и может быть пояснено только при помощи примеров. В современной математике понятие множества считается одним из основных, с него начинается изложение традиционных математических дисциплин и построение новых математических теорий.

Теория множеств была создана в основном трудами математиков XIX века. Ее совре-менное изложение можно найти в литературе по дискретной математике, например [10,11], или в дистанционном курсе по дискретной математике.

Первичным является понятие множества. Оно вводится на аксиоматическом уровне, аналогично тому, как в математике – точка, в информатике - информация, а именно: “Множество есть многое, мыслимое как единое”(Г.Кантор), т.е. множество как «объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или мыслью».

Опуская элементарные операции и свойства, диаграммы Эйлера-Венна, что в основном знакомо ( см.[10,11]), приведем схему дальнейшего развития понятия множества.

Множество

A,B

Прямое (декартовое) произведение множеств:

Соответствия между множествами:

образ:

прообраз:

всюду определенность:Pr₁GA

сюръективность: Pr₂B

инъективность:

функциональность:

Функция (соответствие + функциональность)

аргумент, значение функции на элементе

Отображение (функция + всюду определенность)

Отношение предпорядка

Декартова степень АⁿДекартов квадратA²

ОтношениеRБинарное отношение

Отношение порядка

Свойства бинарных отношений:

рефлексивность:

симметричность:

транзитивность:

антирефлексивность:

Отношение стро- гого порядка

антисимметричность:

нерефлексивность:

несимметричность:

нетранзитивность:

Отношение эквивалентности : рефлексивность, симметричность, транзитивность.

Напомним, что при доказательстве тождеств в теории множеств, диаграммы Эйлера-Венна служат лишь графической иллюстрацией, а основным методом доказательства являетсяметод двух включений.Например,нужно доказать, что AB = (AB)/(AB). Докажем методом двух включений.

Фиксируем произвольно элемент x . Пусть x (А В) . Тогда, согласно определению симметрической разности х. (А\В) (В\А) . Это означает, что х (А\В) или х (В\А) . Если х (А\В) , то х А и xВ , т.е. х(AB) и при этом x (AB) . Если же х (В\А), то хB и xА, откуда х(AB) и при этом x (AB) . Итак, в любом случае из x (А В) следует х(AB) и x (AB), т.е. x (AB)/(AB).

Сокращенная запись вышеприведенного доказательства с использованием логической символики выглядит так:

Тем самым первое включение, т.е. включение AB (AB)/(AB), установлено.

Покажем обратное включение, т.е. включение (AB)/(AB) AB. Запись доказательства обратного включения с использованием логической символики выглядит так:

Оба включения имеют место, и тождество доказано.

Обратим внимание на то, что при доказательстве тождеств методом двух включений рекомендуется скрупулезно проводить доказательство обоих включений. Возможны примеры того, что „обратное" доказательство является не совсем точным обращением „прямого".

Вернемся к предложенной схеме. Согласно ей, основной операцией для множеств является операция декартового произведения, которая в дальнейшем порождает понятия :соответствия, бинарные отношения и функции.

Свойства бинарных отношений на схеме подробно описаны. Остановимся на функциональных отношениях.

Определение 2.1. Бинарным отношением между элементами множеств А и В называется любое подмножество R множества декартового произведения . Если А=В, то отношение называется бинарным отношением на А. Обозначается –xRy.

Определение 2.2. Отношение f на называетсяфункцией из А в В и обозначается f:, если для каждогосуществует единственный элементтакой, что (a,b). Функцияf:называется такжеотображением; при этом говорят, что f отображает А в В. Если , то множество{b:f(a)=b для некоторого a из E} называется образом множества E. Если , то множество

f ^-1(F)={a:f(a)F} назы вается прообразом множества F.

Функция f:называется инъективной, илиинъекцией, если из f(a)=f(a¹) следует a = a¹. Функция f:называется сюръективной, илисюрьекцией, если для каждого существует некотороетакое, чтоf(a) = b. Функция, которая является одновременно и инъекцией и сюръекцией называется взаимно однозначным соответствием или биекцией.

Например, Пусть иf:определена, какf(x)=x². Эта функция не является инъективной, т.к. f(2)= f(-2), но 2-2. Она не является также суръекцией, поскольку не существует такого действительного числаa, для которого f(a)=-1. Очевидно, тогда функция также и не биективна.

Дальнейшее исследование свойств и операций на множествах приводит к понятию алгебраических структур.

Если в прошлых веках и в начале XX века алгебра изучала весьма ограниченное число алгебраических структур, то сейчас можно дать очень общее определение алгебры – а именно: наука о свойствах множеств, на которых определена та или иная система операций и отношений. В развитие такого взгляда на алгебру внес большой вклад академик А.И. Мальцев. В частности, он ввел понятие алгебраической системы, что и является подтемой данного раздела. Благодаря работам А.И. Мальцева стало ясно, что алгебра и математическая логика – две тесно связанные между собой дисциплины.

Определение 2.3. n-арным (n-местным) отношениемна множествеAназывается подмножество n-ой декартовой степени Aⁿмножества A.

Определение 2.4. n-арной (n-местной) алгебраической операцией(или простооперацией), определенной на множествеAназывается n-местная функцияf: Aⁿ  A.

Число nдляn-арной операцииf(n-арного отношенияr) называетсяарностьюоперацииf(отношенияr) и обозначаетсяn(f) (n(r)). Арности отношений – это числа большие нуля. Арности операций – это числа большие или равные нулю. Операции арности 0 представляют собой функции с областью определения, состоящей из одного элемента (n-ки длины 0) и отождествляются со значением функции.

Для унарных операций мы будем использовать префиксную и постфиксную нотацию, а для бинарных – как правило инфиксную.

Здесь мы приведём список часто упоминающихся свойств операций на множестве A.

 Идемпотентность.Операция* идемпотентна, еслиx * x = xдля любогоx  A.

 Коммутативность.Операция* коммутативна, еслиx * y = y * xдля любыхx,y  A.

 Антикоммутативность.Операция* антикоммутативна, еслиx * y  y * xдля любыхx,y  A.

 Ассоциативность.Операция* ассоциативна, еслиx * (y * z) = (x * y) * zдля любыхx,y,z  A.

 Дистрибутивность.Операция* дистрибутивнаотносительно операции_°, еслиx _° (y * z) = (x _° y) * (x _° z) для любыхx,y,z  A.

 Взаимно обратные операции.Операции*и_°называют взаимно обратными, еслиx * y = zтогда и только тогда, когдаz _° y = xдля любыхx,y,z  A.

 Нейтральный элемент.Про операцию*говорят, что онаимеет нейтральный элемент, если во множествеAсуществует элемент (обозначим егоe), такой чтоx * e = xдля любогоx  A.

Если рассматриваемая операция обозначается знаком +, то нейтральный элемент обычно называют нулём, если знаком·(умножить), то –единицей.

 Обратный элемент.Про операцию*снейтральным элементом eговорят, что для неё элементx  A имеет обратный элемент, если для него во множествеAможно найти элемент (обозначим егоx'), такой чтоx * x' = e.

Если для всех элементов существуют обратные, то операцию называют обратимой.

Если множество Aконечно, алгебраическую операцию на этом множестве можно определить в виде таблицы. Если операция бинарная, то такое определение особенно удобно. Например, составим таблицу операции (+ mod 5) на множестве {0, 1, 2, 3, 4}

(+mod 5)	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

Кроме того, что таблица даёт определение операции, она наглядно выражает некоторые свойства операции. В частности, коммутативность операции соответствует симметричности таблицы относительно главной диагонали.

Определение 2.5.. Алгебраической системой<A;_F;_R>называется объект, состоящий из трёх множеств: непустого множестваA, множества алгебраических операций_F, определенных наA, и множества отношений_R, определенных наA. МножествоAназываетсяносителемалгебраической системы. Если алгебраическая система не содержит операций, она называетсямоделью, если не содержит отношений, то –алгеброй.

Символы алгебраических операций и отношений (каждый из которых имеет определённую арность) составляют сигнатуруалгебраической системы.

Мы будем иметь дело с алгебраическими системами, содержащими конечное число операций и отношений. Алгебраические системы мы будем записывать в виде: <A;f₁,...,f_k;r₁,...,r_l>, где {f₁,...,f_k} =_F, {r₁,...,r_l} =_R.

Определение 2.6. Типом алгебраической системы<A;f₁,...,f_k;r₁,...,r_l>называется пара наборов (n(f₁),...,n(f_k)) и (n(r₁),...,n(r_l)), состоящих из арностей операций и отношений. Тип будем записывать в виде<n(f₁),...,n(f_k); n(r₁),...,n(r_l)>

Например, <N ;+,·;<>является алгебраической системой типа <2, 2; 2>, так как операции+,·определены для любых двух натуральных чисел и результат снова является натуральным числом. <N;+,-;<>не является алгебраической системой, так как результат операции -, применённой к натуральным числам – не всегда натуральное число.

Стандартный алгебраический подход к рассмотрению алгебраических систем – отвлечение от свойств отдельных элементов носителя, не связанных с операциями и отношениями системы, как и от способов определения (вычисления) операций и отношений, и рассмотрение только их свойств в рамках алгебраической системы. Для обозначения совпадения свойств носителей, операций и отношений в рамках самих алгебраических систем используется понятие изоморфизма.

Определение 2.7. ПустьA = <A;f₁,...,f_k;r₁,...,r_l> иB = <B;g₁,...,g_k;p₁,...,p_l> – алгебраи-ческие системы одного типа<m₁,...,m_k; n₁,...,n_l>. Отображение:A  Bназываетсягомоморфизмомалгебраической системыAвB, если выполняются следующие условия:

1. (f_i(x₁,...,x_mi)) = g_i((x₁),...,(x_mi)),

2. (x₁,...,x_nj) r_j ((x₁),...,(x_nj)) p_j

для любых x₁, x₂, ... A, для любыхi : 1 i  k, для любыхj : 1 j  l.

Определение 2.8. Если гомоморфизм является биекцией и обратное отображение также является гомоморфизм, то такой гомоморфизм называетсяизоморфизмом.Алгебраические системы, для которых существует изоморфизм, называютсяизоморфными.

Иначе говоря, изоморфизм алгебраических систем A = <A;f₁,...,f_k; r₁,...,r_l> иB = <B;g₁,...,g_k;p₁,...,p_l> одного типа<m₁,...,m_k; n₁,...,n_l>– это взаимно-однозначное отображениемножестваAнаB, такое что выполняются условия:

1. (f_i(x₁,...,x_mi)) = g_i((x₁),...,(x_mi)),

2. (x₁,...,x_nj) r_j ((x₁),...,(x_nj) p_j

для любых x₁, x₂, ... A, для любыхi : 1 i  k, для любыхj : 1 j  l.

Для алгебр условие 2 автоматически выполняется, поэтому для алгебр изоморфизмы – это гомоморфизмы, являющиеся биекцией.

Покажем, что алгебры <R ; +>и<R₊ ;·>^*изоморфны. Определим отображение : RR₊как(x) = e^x. Это отображение – биекция и(x+y) = e^(x+y) = e^x · e^y = (x) · (y).

Покажем, что модели <R; > и <R; > изоморфны. Определим отображение(x) = -x. Это отображение – биекция и(x)(y) -x  -y  x  y.

Определение 2.9. Изоморфизм алгебраической системы на себя называетсяавтоморфизмом. Автоморфизм, являющийся тождественным отображением называетсятривиальным.

Определение 2.10. Подсистемойалгебраической системы<A;_F;_R>называется алгебраическая система<A';_F';_R'>, в которойA'  A, значения всех операций из_F'наA'совпадают со значениями операций из_Fи отношения из_R'наA'совпадают с отношениями из_R. При этом подмножествоA'называетсязамкнутымв системе<A;_F;_R>.

Заметим, что гомоморфные образы алгебр всегда изоморфны подалгебрам, но гомоморфные образы моделей – не обязательно изоморфны подмоделям данной модели.

Определение 2.11. Носитель минимальной алгебраической системы, содержащей множествоA, называется замыканием множества A в алгебраической системе.

Например, замыканием множества {-1,1} в алгебре <Q; + >является множествоZцелых чисел, так как <Z; + >– алгебра и, если подалгебра алгебры <Q; + >содержит -1 и 1, она содержит все целые числа.

В заключение этого раздела представим общую схему взаимосвязей от теории множеств до системы классификаций общей алгебры, которая восходит к понятию категории как совокупности однотипных математических структур (объектов) и отображений (морфизмов) между ними. В категории множеств объектами являются множества; морфизмами – их отображения друг в друга; умножение морфизмов совпадает с суперпозицией или последовательным выполнением отображений; единичными морфизмами являются тождественные отображения множеств в себя. В категории бинарных отношений над категорией множеств объектами выступают произвольные множества; морфизмами – бинарные отношения; умножение морфизмов есть умножение бинарных отношений.

Алгебра изучает не отдельные алгебраические системы, а классы алгебраических систем. Развитие теории алгебраических систем можно найти в специальной литературе.