9. Плотность состояний и энергия ферми свободного эл. Газа.
Электроны в кристалле обладает как ин, так и пот. Энергией. Епотзависит от пространственного расположения е. Допустим рассматриваемая нами система полностью локализована и имеет объем L3.
Е
е
состояние можно полностью охарактеризовать
представлением о трехмерном фазовом
пространстве импульсов.
Так как мы имеем дело с электронным газом мы должны учитывать квантовый характер, т.е. принцип неопределенности Гейзенберга и Паули.
Согласно первому принципу справедливы соотношения: ∆xPx≥h; ∆yPy≥h; ∆zPz≥h.
т.е. пространство импульсов должно быть
разделено на ячейки h3/V.
Каждая элементарная ячейка объемом
h3/V
представляет собой энергетическое
состояние5 которое не может быть
заполеннно больше чем 2-мя электронами
с разными спинами согласно принципу
Паули. Отсюда Vмин для Ne
равен Vмин(Ne)=(Nh3)/2V.
Значит даже при Т=0К. Электроны будут
занимать состояния с ненулевой энергией
при условии минимума энергии занятое
состояние в пространстве импульсов
образует сферу(сфера Ферми). Разобьем
ее на кусочки с объемом равным h3/V.
Выполняется равенство
=>
при Т=0К; EF=Emax;
т.е. могут иметь энергию от Е=0 до Е=ЕF.
Температура Ферми TF=EF/k.
Определим число состояний, которые представляются системе в интервале энергий от Е до E+dЕ. Из пространства импульсов видно, что число элементарных энергетических ячеек, которое может быть размещено в элементарном шаровом объеме будет пропорционален как радиусу, т.е. энергии, так и его толщине т.е. dE/
Общая плотность состояний одиночного интервала энергий равна N(E)dE, N(E)- плотность состояний. Определим эту величину для свободного электронного газа, Объем сферы равен 4пP3/3, объем шарового слоя равен дифференциалу 4пP2dP. Число состояний в этом слое N(P)dP можно получить если объем шарового слоя разделить на объем элементарной ячейки и умножить на 2 т.к. в каждой ячейке по 2 электр.
перейдем к N(E)dE;
;
,
т.е. плотность состояний параболическая функция энергии.