3.1 Метод безпосереднього застосування законів Кірхгофа

Визначають для початкового кола кількість вузлів n, віток m.

Задаються додатними напрямами струмів в усіх вітках, складають (n–1) рівнянь за перших законом Кірхгофа. Решту [m–(n-1)] рівнянь складають за другим законом Кірхгофа для контурів, використовуючи всі вітки кола. Напрям обходу кожного контура беремо довільно.

Так для кола, зображеного на рис. 3.2, з вихідними даними Е₁, Е₂, Е₃, R₀₁, R₀₂, R₀₃, R₁, R₂, R₃, n=2, m=3,

Рисунок 3.2

маємо: за першим законом Кірхгофа для вузла “а”

І1 + І2 – І3 = 0,

за другим законом Кірхгофа для контурів І і ІІ маємо:

Е1 – Е3 = (R1 + R01)I1 + (R3 + R03)I3,
Е3 – Е2 = – (R2 + R02)I2 – (R3 + R03)I3.

У результаті розв`язання системи рівнянь визначаються струми у вітках.

3.2 Метод контурних струмів

Контурний струм – це фіктивний струм у якому-небудь контурі й однаковий для всіх елементів цього контура.

При цьому контури мають бути незалежними, тобто мати хоча б одну вітку, яка не входить до інших контурів. Напрям обходу кожного контура беруть довільно, а напрям контурного струму – за напрямом обходу. Для кожного контура складається рівняння за другим законом Кірхгофа. При цьому для суміжних віток, які входять до складу двох і більше контурі,в падіння напруг на них записується від усіх контурних струмів зі своїми знаками. Так, для кола, зображеного на рис. 3.2 із заданими ЕРС – Е₁, Е₂, Е₃, внутрішніми опорами R₀₁. R₀₂, R₀₃ і параметрами приймачів R₁, R₂, R₃ маємо таку систему рівнянь для контурних струмів І₁₁ та І₂₂:

Е1 – Е3 = (R1 + R01 + R3 + R03)I11 – (R3 + R03)I22,
Е3 – Е2 = (R2 + R02 + R3 + R03)I22 – (R3 + R03)I11.

Розв`язуючи цю систему рівнянь, визначаємо контурні струми І₁₁ і І₂₂.

Дійсні струми у вітках: І₁ = І₁₁; І₂ = –І₂₂; І₃ = І₁₁ – І₂₂.

Дійсний струм у кожній вітці визначається як алгебраїчна сума контурних струмів у конкретній вітці. При цьому струми одного напряму записуються зі знаком “+”, протилежного – зі знаком “–”. Дійсний струм спрямований у бік тих струмів, які взяті додатними, якщо алгебраїчна сума контурних струмів додатна. При від`ємній сумі контурних струмів дійсний струм у вітці спрямований у бік струмів, які записані із знаком “–”.

3.3 Приклади розрахунку кіл постійного струму.

Приклад 1. Визначити струми у вітках і покази вольтметра U_в в електричному колі, схема якого зображена на рис. 3.3 а, якщо: Е = 100 В; R₀ = 1 Ом; R₁ = 7 Ом; R₂ = 30 Ом; R₃ = 15 Ом; R₄ = 5 Ом.

а	б
в	г

Рисунок 3.3 а, б, в, г

Розв`язання. Користуючись методом послідовного згортання початкової розгалуженої схеми в нерозгалужену еквівалентною заміною одних ділянок іншими, як показано на рис. 3.3 а-г, визначаємо еквівалентні опори всього кола після згортання:

R₃₄=R₃+R₄= 15 + 5 = 20 (Ом),

R₁₀=R₁+R₀= 7 + 1 = 20 (Ом),

,

R_e = R₁₀ + R₂₃₄ = 8 + 12 = 20 (Ом).

Визначаємо струм джерела:

,

І1= 5 А.

Напруга на ділянці b – d(рис. 3.3 в):

U_bd = R₂₃₄  I₁ = 12  5 = 60 (В).

Струми в паралельних вітках (рис. 3.3 б):

,	І2= 2 А.
,	І3= 3 А.

Користуючись другим законом Кірхгофа, визначимо показ вольтметра:

U_В = R₁  I₁ + R₃  I₃ = 7  5 + 15  3 = 80 (В),U_В = 80 В.

Приклад 2. У електричному колі, схема якого зображена на рис. 3.4, визначити струм джерела живлення, якщо: Е₆= 36 В;R₁ = R₂ = 6 Ом; R₄ = R₅ = 5 Ом; R₃ = 2 Ом; R₆ = 3 Ом.

Рисунок 3.4

Рисунок 3.5

Розв`язання. Оскільки в колі є одне джерело ЕРС, то напрям його струму відповідає напряму ЕРС.

Для визначення еквівалентного опору всього кола відносно затискачів f – dджерела спочатку замінимо “трикутник” з опорамиR₃, R₄ й R₅еквівалентною “зіркою” з опорамиR_a, R_b, R_c. Перетворена еквівалентна схема показана на рис. 3.5.

Визначимо опори променів еквівалентної “зірки”, використовуючи формули, наведені в таблиці 3.1:

У такому разі опір між вузлами 0 – d дорівнює:

; R_d0 = 3,4 Ом.

Визначаємо еквівалентний опір усього кола відносно затискачів f – d:

R_e = R₆ + R_b + R_d0 = 3 + 1,6 + 3,4 = 8 (Ом); R_e = 8 Ом.

Струм, що поступає із джерела в коло дорівнює:

І6= 4,5 А.

Приклад 3. Для заданого кола, схема якого зображена на рис. 3.6, визначити ЕРС джерела Е₃, якщо воно віддає в коло струм І₃= 2,78 А. Параметри приймачів електричної енергії:R₁ = 25 Ом; R₂ = 15 Ом; R₃ = R₄ =R₅ = 5 Ом; R₆ 10 Ом.

Рисунок 3.6 Рисунок 3.7

Розв`язання. Для визначення ЕРС джерела треба визначити еквівалентний опір усього кола R_eвідносно затискачівf – aджерела.

Для визначення R_eможна скористатися методом перетворення ділянок кола, з`єднаних “трикутником” (наприклад, опориR<sub>1</sub>, R<sub>4</sub>, R<sub>6</sub>)в еквівалентну “зірку” або, навпаки, ділянок кола, з`єднаних “зіркою” (наприклад, опорівR₄,R₅,R₆) в еквівалентний “трикутник”. Для розв`язання задачі скористаємося методом перетворення “зірки” з опорамиR₄,R₅,R₆в еквівалентний “трикутник” з опорамиR_ad,R_dc,R_са.

Перетворена схема зображена на рис. 3.7. Опори еквівалентного “трикутника” визначимо, користуючись формулами, які наведені в таблиці 3.1:

Методом послідовного згортання схему на рис. 3.7 замінимо нерозгалуженим колом з одним еквівалентним опором R_eі джерелом ЕРС Е₃. При цьому опори еквівалентних ділянок визначимо, скориставшись формулами, поданими у таблиці 3.1:

ЕРС джерела Е3= ReI3=12,9952,78 = 36 (В),

Е3= 36 В.

Приклад 4. Для електричного кола, схему якого зображено на рис. 3.8, визначити струми у вітках, користуючись методом контурних струмів, якщо: Е₁ = 50 В; Е₂ = 110 В; Е₃ = = 30 В; R₀₁ = R₀₂ = 1,5 Ом; R₁ = R₂ = 5,5 Ом; R₃ = 10 Ом; R₄ = 23 Ом.

Рисунок 3.8

Розв`язання. Вибір контурів І і ІІ, позначення контурних струмів І₁₁і І₂₂, напрям обходу контурів показані на рис. 3.8. Запишемо рівняння для контурів І і ІІ за другим законом Кірхгофа в загальному випадку:

Е₁₁=R₁₁І₁₁+R₁₂І₂₂,

Е₂₂=R₂₁І₁₁+R₂₂І₂₂,

де Е₁₁ = – Е₁ + Е₃ = –50 + 30 = –20 (В), Е₁₁ = –20 В,

Е₂₂ = Е₂ – Е₃ = 110 – 30 = 80 (В), Е₂₂ = 80 В,

R₁₁ = R₀₁ + R₁ + R₃ + R₄ = 40 (Ом), R₁₁ = 40 Ом,

R₂₂ = R₀₂ + R₂ + R₃ = 17 (Ом), R₁₁ = 17 Ом,

R₁₂ = R₂₁ = – R₃ = –10 (Ом), R₁₂ = R₂₁ = –10 Ом.

Визначник системи

Алгебраїчні доповнення:

₁₁=R₂₂(–1)¹⁺¹=R₂₂= 17,

₁₂=R₁₂(–1)¹⁺²= –R₁₂= 10,

₂₁=R₂₁(–1)²⁺¹= –R₂₁= 10,

₂₂=R₁₁(–1)²⁺²=R₁₁= 40.

Контурні струми:

І₁₁= 0,79 А,

І₂₂= 5,17 А.

Дійсні струми у вітках:

І₁= І₁₁= 0,79 А, І₂= І₂₂= 5,17 А.

І₃= І₂₂– І₁₁= 5,17 – 0,79 = 4,38(А), І₃= 4,38 А.

Рівняння балансу потужностей:

–Е₁І₁+ Е₂І₂– Е₃І₃= Р_джер. =(R₀₁+R₁+R₄)І₁²+ ((R₀₂+R₂))І₂²+R₃І₃²= Р_спож,

–50 0,79 + 1105,17 – 304,38 = (1,5 + 5,5 + 23)0,79²+ (1,5 + 5,5)5,17²+ 104,38²,

–39,5 + 568,7 – 131,4 = 18,72 + 187,1 +191,84,

397,8 (Вт) 397,66 (Вт).

Неточність розрахунків зумовлена округленням при обчисленні струмів.

Відносна похибка розрахунків:

,

,

.

Приклад 5. Для електричного кола, схему якого зображено на рис. 3.9, визначити струми у вітках, користуючись методом контурних струмів, якщо: R₁ = 9 Ом; R₂ = 10 Ом; R₃ = 3 Ом; R₄ = 2 Ом; Е₁ = 10 В; Е₂ = 10 В; Е₃ = 8 В.

Визначити режим роботи джерел ЕРС.

Побудувати потенціальну діаграму для контура a–b–c–d–e–f–a.

Рисунок 3.9

Система рівнянь для даної схеми має вигляд:

R₁₁І₁₁+R₁₂І₂₂+R₁₃І₃₃= Е₁₁,

R₂₁І₁₁+R₂₂І₂₂+R₂₃І₃₃= Е₂₂,

R₃₁І₁₁+R₃₂І₂₂+R₃₃І₃₃= Е₃₃.

Вибираємо напрям контурних струмів І₁₁, І₂₂й І₃₃ за годинниковою стрілкою і визначаємо:

R₁₁=R₁+R₄= 14 Ом,R₁₂=R₂₁= –R₄= –5 Ом,

R₂₂=R₂+R₅+R₄= 17 Ом,R₂₃=R₃₂= –R₅= –2 Ом,

R₃₃ = R₃ + R₅ = 5 Ом, R₃₁ = R₁₃ =0 Ом,

Е₁₁ = –Е₁ = –10 В, Е₂₂= Е₂= 10 В, Е₃₃= –Е₃= –8 В.

Розв`язуючи систему рівнянь, знаходимо контурні струми:

І₁₁= –0,635 А, І₂₂0,225 А, І₃₃= –1,52 А

та струми у вітках:

І₁= –І₁₁= 0,635 А, І₂= І₂₂= 0,225 А, І₃= –І₃₃= 1,52 А,

І₄= І₂₂– І₁₁= 0,86 А, І₅= І₂₂– І₃₃= 1,745 А.

Складаємо баланс потужностей

,

де n – кількість віток, m – кількість джерел ЕРС.

,

0,632²9 + 0,86²5 + 0,225²10 + 1,745²2 + 1,52²3 =100,635 + 100,225 + 81,52,

21 (Вт) 20,76 (Вт).

Якщо напрям струму І_kзбігається з напрямом ЕРС джерела, то джерело ЕРС є джерелом електричної енергії, тому в електричному колі (рис. 3.9) усі джерела ЕРС працюють у генераторному режимі.

Для побудови графіка потенціальної діаграми =f(R)заданого контураa–b–c–d–e–f–aвизначаємо потенціали точок, вважаючи_а= 0.

_b=_а+ E₂ = 0 + 10 = 10 (В),

_с=_b+ R₃ I₃ = 10 + 3  1,52 = 14,56 (В),

_d=_c– E₃ = 14,56 – 8 = 6,56 (В),

_e=_d– E₁ = 6,56 – 10 = –3,44 (В),

_f=_e+ R₁ I₁ = –3,44 + 9  0,635 = –2,275 (В),

_а= _f – R₂ I₂ = 2,275 – 10  0,225 = 0,025 0.

Вибираємо масштаби: ,. Графік потенціальної діаграми, побудований за результатами розрахунків, зображено на рис. 3.10.

Рисунок 3.10 – Графік потенціальної діаграми

Приклад 6. Для електричного кола, схему якого зображено на рис. 3.11, визначити струми у вітках методом безпосереднього застосування законів Кірхгофа, якщо: R₁ = 15 Ом; R₂ = 5 Ом; R₃ = 20 Ом; R₀₁ = R₀₃ = 5 Ом; R₀₂ = 4 Ом; Е₁= 30 В; Е₂= 40 В; Е₃20 В.

Скласти і визначити рівняння балансу потужностей.

Рисунок 3.11

Розв`язання. Вибір контурів І і ІІ, позначення струмів І₁, І₂, І₃у вітках, напрям обходу контурів показані нарис. 3.11.Електричне коло має два вузли (n = 2) ітри вітки (m = 3).

Запишемо рівняння за першим законом Кірхгофа для вузла “а” І₁+ І₃– І₂= 0.

За другим законом Кірхгофа для контурів І і ІІ:

(R₁ + R₀₁) I₁ + R₀₂ I₂ = E₁ + E₂,

– R₀₂ I₂ – (R₀₃ + R₃ + R₂) I₃ = –E₂ + E₃.

У загальному вигляді одержана система рівнянь має вигляд:

R₁₁ I₁ + R₁₂ I₂ + R₁₃ I₃ = E_I­,

R₂₁ I₁ + R₂₂ I₂ + R₂₃ I₃ = E_IІ­,

R₃₁ I₁ + R₃₂ I₂ + R₃₃ I₃ = E_I­ІІ,

де Е_І = 30 (В),

Е_ІІ= Е₁+ Е₂= 30 + 40 = 70 (В),

Е_ІІІ= –Е₂+ Е₃= –40 + 20 = –20 (В),

R₁₁ = R₁₃ = 1 (Ом), R₁₂ = –1 (Ом),

R₂₁ = R₁ + R₀₁ = 15 + 5 = 20 (Ом), R₂₂ = R₀₂ = 4 (Ом), R₂₃ = 0,

R₃₁ = 0, R₃₂ = –R₀₂ = –4 (Ом),

R₃₃ = –( R₀₃ + R₃ + R₂) = –(5 + 20 + 5) = –30 (Ом).

І₁ – І₂ + І₃ = 0,

20 І₁ + 4 І₂ + 0 = 70,

0 – 4 І₂ – 30 І₃ = –20,

Матриця системи: .

Визначник системи:

Алгебраїчні доповнення:

Дійсні струми у вітках:

	І1= 2,875 А,
	І2= 3,125 А,
	І3= 0,25 А.

Рівняння балансу потужностей:

Е₁І₁+ Е₂І₂– Е₃І₃=

= R₀₁І₁²+R₁І₁²+R₀₂І₂²+R₀₃І₃²+R₂І₃²+R₃І₃²,

30 ∙ 2,875 + 40 ∙ 3,125 –20 ∙ 0,25 =

= 5 ∙ 2,875² + 15 ∙ 2,875² + 4 ∙ 3,125² + 5 ∙ 0,25² + 5 ∙ 0,25² + 20 ∙ 0,25²,

206,25 Вт ≈ 206,249 Вт.

Відносна похибка розрахунків:

.

Список літератури

1. Общая электротехника с основами электроники: Учебник для техникумов / Гаврилюк В.А., Гершунский Б.С. и др. – Киев: Вища школа, 1980.

2. Сборник задач по электротехнике и основам электроники / Под ред. В.Г. Герасимова. – М.: Высшая школа, 1987.

3. Трегуб А.П. Электротехника / Под ред. Э.В. Кузнецова. К.: Высшая школа, 1987.