Графический способ отделения корней

1. Графический способ отделения корней

Отделение корней во многих случая можно произвести графически, "учитывая что действительные корни уравнения F(x)=0 (1) - это есть точки пересечения графика функции y=F(x) с осью абсцисс y=0, нужно построить график функции y=F(x) на оси OX отметить отрезки, содержащие по одному корню. Но часто для упрощения построения графика функции y=F(x) исходное уравнение (1) заменяют равносильным ему уравнением f₁(x)=f₂(x) (2). Далее строятся графики функций y₁=f₁(x) и y₂=f₂(x) , а затем по оси OX отмечаются отрезки, локализующие абсциссы точек пересечения двух графиков"[1].

На практике данный способ реализуется следующим образом: например, требуется отделить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 графически на отрезке [-10;10], используя:

1 способ

Построим график функции f(x)=cos(2x)+x-5 в декартовой системе координат. Для этого нужно:

1. Ввести в ячейку A1 текст х.

2. Ввести в ячейку B1 текст y=cos(2x)+x-5.

3. Ввести в ячейку А2 число -10, а в ячейку А3 число -9.

4. Выделить ячейки А2 и А3.

5. Навести указатель «мыши» на маркер заполнения в правом нижнем углу рамки, охватывающий выделенный диапазон. Нажать левую кнопку «мыши» и перетащить маркер так, чтобы рамка охватила диапазон ячеек А2:А22.

6. Ячейки автоматически заполняются цифрами :

7. Ввести в ячейку В2 формулу =COS(2*A2)+A2-5.

8. Методом протягивания заполнить диапазон ячеек В3:В22.

9. Вызвать "Мастер диаграмм" и выбрать диаграмму график (первый вид), нажать «далее».

10. Указать диапазон данных, для этого щелкнуть кнопку в поле «Диапазон» и выбрать диапазон данных В2:В22.

11. Выбрать вкладку ряд, указать имя ряда, щелкнув кнопку в поле «ряд» и выбрав В1.

12. В поле «подписи по оси Х», щелкнуть кнопку и выбрать диапазон А2:А22, нажать «далее».

13. Подписать названия осей x и y соответственно, нажать «далее».

14. Вывести диаграмму на том же листе, что и таблица, нажать кнопку «готово».

В итоге получаем следующее:

Анализируя полученное изображение графика, можно сказать, что уравнение cos(2x)+x-5=0 имеет один корень – это видно из пересечения графика функции y=cos(2x)+x-5 с осью OX. Можно выбрать отрезок, содержащий данный корень: [5;6] – отрезок изоляции.

2 способ

Для подтверждения полученных данных, можно решить эту же задачу вторым способом, используя формулу (2). Для этого необходимо уравнение cos(2x)+x-5=0 преобразовать к виду: cos(2x)=5-x. Затем следует каждую часть уравнения рассмотреть как отдельную функцию. Т. е. y1=cos(2x) и y2=5-x. Для решения этой задачи в MS Excel необходимо выполнить следующие действия:

1. Вести в ячейки А1:C1 соответственно текст: «x», «y1=cos(2x)», «y2=5-x».

2. A2:A22 заполнить так же как при решении задачи первым способом.

3. В В2 ввести формулу =COS(2*A2).

4. Методом протягивания заполнить диапазон ячеек В3:В22.

5. В С2 ввести =5-A2.

6. Методом протягивания заполнить диапазон ячеек С3:С22.

7. С помощью Мастера диаграмм выбрать график (первый вид).

8. В данном случае диапазон данных следует указывать для построения двух графиков. Для этого нужно нажать кнопку в поле «Диапазон» и выделить ячейки В2:В22, затем нажать Ctrl (на клавиатуре) и выделить следующий диапазон C2:C22.

9. Перейти на вкладку ряд, где выбрать именем ряда 1 ячейку В1, а именем ряда 2 ячейку С2.

10. Подписать ось x , выбрав диапазон А2:А22.

11. Подписать соответственно оси x и y.

12. Поместить диаграмму на имеющемся листе.

В итоге получаем следующее:

Анализируя полученный результат, можно сказать, что точка пересечения двух графиков попадает на тот же самый отрезок изоляции [5;6], что и при решении задачи первым способом.

1. Метод половинного деления

Пусть корень уравнения (1) отделен на отрезке [a;b]. Требуется найти значение корня с точностью ε.

"Процедура уточнения положения корня заключается в построении последовательности вложенных друг в друга отрезков, каждый из которых содержит корень уравнения. Для этого находится середина текущего интервала неопределенности (6):

В в качестве следующего интервала неопределенности из двух возможных выбирается тот, на концах которых функция F(x)=0 имеет разные знаки"[8]. "Точность будет достигнута, если:

Корень уравнения вычисляется по формуле x=(an+bn)/2 (7)"[1].

Пусть дана задача следующего характера: Уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом половинного деления с точностью до 0,00001, используя:

Для того чтобы уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом половинного деления, используя Excel, необходимо выполнить следующие действия:

Заполнить ячейки A1:H1 последовательно следующим образом: a, b, c=(a+b)/2, f(a), f(b), f(c), |b-a|<=2*e, e.

 Ввести в ячейку E2 число 5, в ячейку F2 - число 6.

 В ячейку G2 ввести формулу: =(E2+F2)/2.

 В ячейку H2 ввести формулу: =cos(2*E2)+E2-5, скопировать эту формулу в ячейки I2:J2.

 Ввести в ячейку K2 формулу: =ЕСЛИ(ABS(F2-E2)<=2*$L$2;G2;"-").

 Ввести в ячейку L2 число 0,00001.

 В ячейку E3 ввести формулу: =ЕСЛИ(H2*J2<0;E2;G2).

 В ячейку F3 ввести формулу: =ЕСЛИ(H2*J2<0;G2;F2).

 Диапазон ячеек G2:K2 скопировать в диапазон ячеек G3:K3.

 Выделить диапазон ячеек E3:K3 и с помощью маркера заполнения заполнить все нижестоящие ячейки до получения результата в одной из ячеек столбца K (это ячейки E3:K53).

Ответ: Корень уравнения cos(2x)+x-5=0 равен 5,32977.