ЛЕКЦ. 4 ЛОГіЧНі БАЗИСИ
.docЛЕКЦІЯ 4
Логічні базиси
1. Функціонально-повні логічні базиси
Набір логічних елементів з допомогою якого можна реалізувати будь-яку логічну функцію називають функціонально-повним логічним або універсальним базисом.
Найбільш відомим з цих базисів буде набір, який складається з логічних елементів НІ, І, АБО, а також констант 0 і 1. Нелегко знайти цифрову схему де б не використовувався цей базис. Цей базис називається булевим, тому що його вперше дослідив англійський вчений Буль.
Крім
булевого базису, на практиці використовуються
ще два універсальні базиси, один з яких
складається з елементів - І,
НІ,
а другий -
АБО, НІ.
Перший з цих базисів відповідно до
прізвищ вчених, які їх запропонували,
називається базисом штрих Шефера, а
другий – стрілка Пірса. Вони відповідно
позначаються як
і
.
Як бачимо, ці базиси мають в своєму
складі два логічних елемента, тобто на
один елемент менше, чим має булевий
базис. Це значить, що булевий базис є
надмірним, в той же час як два інші базиси
за складом елементів є мінімальними.
При цьому, вони залишаються універсальними.
Якщо видалити з цих базисів хоча б один
логічний елемент, то він перетвориться
в неповний базис, з допомогою якого вже
не можна буде реалізувати будь-яку
логічну функцію, а відповідно і схему
цифрового пристрою.
Нижче в таблиці істинності 1 для порівняння між собою наведена логіка функціонування елементів І, АБО, А|В, А↓В для трьох змінних. Аналогічно будуються таблиці істинності і для більшої кількості елементів.
Таблиця 1 – Логіка функціонування логічних
елементів І, АБО, А|В, А↓В
|
Вхід |
АБО |
І |
А|В |
А↓В |
|
x1 x2 x3 |
||||
|
0 0 0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 0 1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 1 0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 1 1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 0 0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 0 1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 1 0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 1 1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
2. Реалізація логічних схем на основі елемента штрих Шефера
Як
було показано вище елемент штрих Шефера
має вигляд
,
тобто він реалізує операцію логічного
множення з інверсією (І-НІ).
Тому його функціональна схема буде мати
вигляд, який наведений на рисунку 1.
Рисунок 1 – Функціональна схема елемента штрих Шефера
Елемент штрих Шефера створює функціонально-повний логічний базис, тому що з його допомогою можна виконати логічні операції інверсії, при необхідності, константи 0 і 1, а також додавання і множення,.
Для реалізації інверсії на елементі штрих Шеффера треба лише перемкнути його входи між собою, і тоді, при подачі на вхід елементу сигналу 1, на виході буде сигнал 0 і, зворотно, при подачі на вхід 0 на виході буде 1 (див. рис. 2). В такому випадку буде побудований елемент НІ. Для отримання констант 0 і 1 потрібно лише постійно подавати на входи побудованого на елементу штрих Шефера інвертора 1 або 0 . Тоді на виході відповідно буде постійно знаходиться 0 або 1.
Рисунок 2 – Реалізація інвертора на елементах штрих Шефера
Реалізація схеми І з допомогою елемента штрих Шефера показана на рисунку 3, а схеми АБО на рисунку 4.
Рисунок 3 – Реалізація схеми І на елементах штрих Шефера
Рисунок 4 – Реалізація схеми АБО на елементах штрих Шефера
3. Реалізація логічних схем на основі елемента стрілка Пірса
Стрілка
Пірса
реалізує операцію множення с інверсією
(АБО
– НІ)
і по аналогії з елементом штрих Шефера
створює функціонально-повний
(універсальний) мінімальний базис. Схема
цього елемента показана на рисунку 5.
Рисунок 5 – Функціональна схема елемента стрілка Пірса
Виконання інверсії з допомогою цього елемента наведено на рисунку 6. Як бачимо для цього потрібно лише перемкнути входи цього елемента між собою.
Рисунок 6 – Реалізація інвертора на елементі стрілка Пірса
Операція логічного множення І надана на рисунку 6. Для її виконання потрібно три елементи стрілка Пірса, два з яких виконують функції схеми НІ.
Рисунок 6 – Реалізація схеми І на елементах стрілка Пірса
Простіше реалізується схема логічного додавання АБО, тому що потребує для своєї реалізації всього два елемента стрілка Пірса (див. рис. 6).
Рисунок 7 – Реалізація схеми АБО на елементах стрілка Пірса
Розглянуті вище елементарні схеми мали два входи, хоча таких входів на практиці, звичайно, зустрічається більше. Але для кінцевого результату проектування це не має особливого значення, тому що на практиці діє простий принцип суперпозиції в відповідності з яким кожна змінна, яка приходить на вхід елементарної схеми вважається вихідною змінною, тобто функцією від двох чи більше інших змінних. Тому всі операції, які відбуваються в цифровій схемі, можна зобразити як такі, що виконуються тільки над двома змінними. Тобто кінцевий результат операцій над багатьма змінними можна зобразити як лише операції над двома змінними.
4. Контрольні питання
1 Розкажіть, як працює елемент штрих Шефера. Приведіть його типове зображення і часову діаграму роботи.
2 Опишіть роботу елемента стрілка Пірса та наведіть його часову діаграму і графічну схему.
3 Приведіть релейні схеми інвертора, диз’юнктора і кон'юнктора.
4 Реалізуйте елемент стрілка Пірса на елементах штрих Шефера.
5. Реалізуйте елемент штрих Шефера на елементах стрілка Пірса.