§2. Системы массового обслуживания с отказами

Впервые такие системы рассматривал в начале прошлого века датский ученый Эрлангв связи с запросами телефонизации.

Предположим, что система состоит из каналов обслуживания и на нее поступает простейший поток запросов интенсивности. Поток обслуживаний в каждом канале также является простейшим, а его интенсивность равна. Если в момент поступления заявки всеканалов заняты, то она покидает систему.

Найдем основные характеристики эффективности такой системы обслуживания

Пусть, как обычно,,- это состояние системы, соответствующее пребыванию в ней ровнозаявок (каналов заняты, остальные свободны). Как уже отмечалось, финальные вероятности состоянийможно найти по формулам (4) (с соответствующей коррекцией) и (5):

;,. (7)

Отметим, что равенства (7) называются формулами Эрланга.

Теперь можно перейти к определению основных показателей эффективности системы обслуживания с отказами.

Вероятность отказав обслуживании заявки;

относительная пропускная способность ;

абсолютная пропускная способность ;

среднее число занятых каналов =.

Как уже отмечалось, последний показатель можно найти и проще по формуле (1): .

Пример 2.

На узел связи с четырьмя каналами поступает в среднем 3 запроса на соединение в минуту. Среднее время сеанса связи составляет 2 минуты. Найти характеристики эффективности такой системы массового обслуживания.

В данном случае,,,, поэтому из (7) получаем следующие значения финальных вероятностей состояний:

,,,,.

Для определения характеристик эффективности узла связи нам понадобится только вероятность :

вероятность отказав обслуживании заявки;

относительная пропускная способность;

абсолютная пропускная способность;

среднее число занятых каналов .

Замечания.

1.Рассмотренный узел связи перегружен: из четырех каналов связи заняты в среднем более трех (), а из поступающих запросов примерно 47% не выполняются (). При увеличении числа каналов связи с четырех до шести получаем:, откуда,,,, т.е. перегрузка системы обслуживания заметно уменьшается.

2.Для упрощения расчетов параметров системы массового обслуживания с отказами при большом числе каналовпреобразуем формулы (7) следующим образом. Введем в рассмотрение суммы

,;.

С их помощью вероятности состояний (7) можно представить так:

,. (8)

При больших значениях следует использовать приближенное равенство

, (9)

где - функция Лапласа.

Пример 3.

АТС может обеспечить не более 1200 соединений одновременно. Среднее количество вызовов, поступающих на АТС в секунду, равно 10. Средняя продолжительность соединения составляет 2 минуты. Рассматривая АТС как систему массового обслуживания, найдем показатели ее эффективности.

В данном случае,, так чтои число каналоввелико. Используя соотношения (7), (8), найдем характеристики системы:

=, т.е. вероятность отказа в соединении составляет 2,4%;

- вероятность того, что соединение произойдет. Другими словами, в среднем 97,6% приходящих требований выполняются;

, т.е. в среднем АТС осуществляет 585,6 соединений в минуту;

- столько каналов связи из 1200 в среднем задействованы в каждый момент времени.