Дополнительные равносильности

,

,

,

,

,

,

,

,

, (законы склеивания),

(закон поглощения).

(закон обобщенного склеивания

Определение 5.2. Функция зависит существенно от аргумента x_i, если существуют такие значения a₁, …, a_i-1, a_i+1 ,…, a_n переменных x₁, …, x_i-1, x_i+1, …, x_n, что

.

В этом случае переменная x_i называется существенной, в противном случае называется несущественной (фиктивной) переменной.

Пример .2. Пусть булевы функции f₁(x₁, x₂) и f₂(x₁, x₂) заданы таблицей истинности:

.

Для этих функций переменная x₁ – существенная, а переменная x₂ – фиктивная.

Пример. 5.3. С помощью основных равносильностей доказать, что в булевой функции F = переменная является фиктивной.

Решение. Применяя закон поглощения и закон склеивания, получим

F =.

Так как существует такая формула, реализующая эту булеву функцию, в которой отсутствует , то эта переменная является фиктивной.

Пример 5.4. С помощью таблицы истинности убедиться в справедливости законов де Моргана .

Решение. Построим таблицу истинности для и .

0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1	1
1	1	1	0	0	0	0

Так как в таблице истинности булевым функциям и соответствуют одинаковые столбцы, то формулы и равносильны.

Пример 5.5. С помощью основных равносильностей доказать закон обобщенного склеивания .

Решение. Применяя закон склеивания (в обратном порядке, то есть ) и дистрибутивность (то есть вынесем за скобки и ), получим

.

Пример 5.6. С помощью основных равносильностей доказать, что .

Решение. Применяя основные равносильности (закон поглощения), получим

.