- •3. Отношения на множествах. Свойства бинарных отношений.
- •3.1. Бинарные отношения.
- •«… Слушает …»,
- •3.2. Свойства бинарных отношений.
- •Свойства бинарных отношений.
- •Как по матрице представления определить свойства бинарного отношения
- •Матрицы бинарных отношений
- •3.3 Отношение эквивалентности. Отношение частичного порядка.
3. Отношения на множествах. Свойства бинарных отношений.
3.1. Бинарные отношения.
В математике среди всех упорядоченных пар прямого произведения двух множеств A и B (AB) выделяются «особые» пары в связи с тем, что между их компонентами есть некоторые «особые» отношения, которых нет у других пар.
В качестве примера рассмотрим множество S студентов какого-нибудь университета и множество K читаемых там курсов. В прямом произведении SK можно выделить большое подмножество упорядоченных пар (s, k), обладающих свойством: студент s слушает курс k. Построенное подмножество отражает отношение
«… Слушает …»,
возникающее между множествами студентов и курсов.
Для строгого математического описания любых связей между элементами двух множеств вводится понятие бинарного отношения.
Определение 3.1. Бинарным (или двухместным) отношением между множествами A и B называется произвольное подмножество AB, т.е.
a b (a,b) , где AB.
В частности, если A=B (то есть A2), то говорят, что есть отношение на множестве A.
Элементы a и b называются компонентами (или координатами) отношения .
Замечание. Договоримся, что для обозначения отношений между элементами множеств использовать греческий алфавит: , , , , и т.д.
Определение 3.2. Областью определения бинарного отношения называется множество D=a b, что ab (левая часть). Областью значений бинарного отношения называется множество R=b a, что ab (правая часть).
Пример .. Пусть даны два множества A=1; 3; 5; 7 и B=2; 4; 6.
Отношение зададим следующим образом =(x; y)AB x+y=9.
Это отношение будет состоять из следующих пар (3; 6), (5; 4) и (7; 2), которые можно записать в виде =(3; 6), (5; 4), (7;2). В данном примере D=3; 5; 7 и R= B=2; 4; 6.
=(x; y)AB x<y, =(1;2), (1; 4), (1;6), (3,4), (3,6), (5,6).
Пример .. Отношение равенства на множестве действительных чисел есть множество =(x; y) x и y – действительные числа и x равно y. Для этого отношения существует специальное обозначение «=». Область определения совпадает с областью значений и является множеством действительных чисел, D= R.
Пример .. Пусть A – множество товаров в магазине, а B – множество действительных чисел. Тогда =(x; y)AB y – цена x – отношение множеств A и B.
Способы задания отношений:
с помощью подходящего предиката;
множеством упорядоченных пар;
в графической форме: пусть A и B – два конечных множества и – бинарное отношение между ними.
Элементы этих множеств изображаем точками на плоскости.
Для каждой упорядоченной пары отношения рисуют стрелку, соединяющую точки, представляющие компоненты пары. Такой объект называется ориентированным графом или орграфом, точки же, изображающие элементы множеств, принято называть вершинами графа.
в виде матрицы: пусть A=a1, a2, …, an и B=b1, b2, …, bm, – отношение на AB.
Матричным представлением называется матрица M=mij размера nm, определенная соотношениями
Пример .. Пусть даны два множества A=1; 3; 5; 7и B=2; 4; 6. Отношение задано предикатом =(x; y) x+y=9. Задать данное отношение другими способами.
Решение. 1) =(3; 6), (5; 4), (7; 2) - есть задание отношения как множества упорядоченных пар;
2) соответствующий ориентированный граф показан на рисунке.
3) в матричном представлении это отношение имеет вид
.
Пример: =(x; y)AB x<y,
=(1;2), (1; 4), (1;6), (3,4), (3,6), (5,6).
Пример: =(x; y)AА x делитель y, A={1,2,3,4,5,6}
Введем обобщенное понятие отношения.
Определение 3.3. n-местное (n-арное) отношение – это подмножество прямого произведения n множеств, то есть множество упорядоченных наборов (кортежей)
A1…An=(a1, …, an) a1A1 … anAn
Многоместные отношения удобно задавать с помощью реляционных таблиц. Такое задание соответствует перечислению множества кортежей отношения .
Реляционные таблицы широко используются в компьютерной практике в реляционных базах данных. Заметим, что реляционные таблицы нашли применение в повседневной практике. Всевозможные производственные, финансовые, научные и другие отчеты часто имеют форму реляционных таблиц.
Слово «реляционная» происходит от латинского слова relation, которое в переводе на русский язык означает «отношение». Поэтому в литературе для обозначения отношения используют букву R (латинскую) или (греческую).
Далее – только бинарные отношения.
Определение 3.4. Пусть AB есть отношение на AB. Тогда отношение -1 называется обратным отношением к данному отношению на AB, которое определяется следующим образом:
-1=(b, a) (a, b).
Определение 3.5.
Пусть AB есть отношение на AB, а
BC – отношение на BC. Композицией отношений и называется отношение AC,которое определяется следующим образом:
=◦= (a, c) b B, что (a, b) и (b, c).
Пример .. Пусть ,иC=, , , . И пусть отношение на AB и отношение на BC заданы в виде:
=(1, x), (1, y), (3, x);
=(x, ), (x, ), (y, ), (y, ).
Найти -1 и ◦, ◦.
Решение.
1) По определению -1=(x, 1), (y, 1), (x, 3);
2) Используя определение композиции двух отношений, получаем
◦=(1, ), (1, ), (1, ), (1, ), (3, ), (3, ),
поскольку из (1, x) и (x, ) следует (1, )◦;
из (1, x) и (x, ) следует (1, )◦;
из (1, y) и (y, ) следует (1, )◦;
…
из (3, x) и (x, ) следует (3, )◦.
3) ◦=.
Теорема 3.1. Для любых бинарных отношений выполняются следующие свойства:
1) ;
2) ;
3) - ассоциативность композиции.
Доказательство. Свойство 1 очевидно.
Докажем свойство 2. Для доказательства второго свойства покажем, что множества, записанные в левой и правой частях равенства, состоят из одних и тех же элементов.
Пусть (a; b) (◦)-1 (b; a) ◦ c такое, что (b; c) и (c; a) c такое, что (c; b) -1 и (a; c) -1 (a; b) -1◦ -1. Свойство 3 доказать самостоятельно.