3.2. Свойства бинарных отношений.

Рассмотрим специальные свойства бинарных отношений на множестве A.

Свойства бинарных отношений.

1. Отношение  на AA называется рефлексивным, если (a,a) принадлежит  для всех a из A.

2. Отношение  называется антирефлексивным, если из (a,b) следует ab.

3. Отношение  симметрично, если для a и b, принадлежащих A, из (a,b) следует, что (b,a).

4. Отношение  называется антисимметричным, если для a и b из A, из принадлежности (a,b) и (b,a) отношению  следует, что a=b.

5. Отношение  транзитивно, если для a, b и c из A из того, что (a,b) и (b,c), следует, что (a,c).

Пример ..

1. Отношения «=» и «£» являются рефлексивными отношениями на множестве N, но отношение «<» таковым не является.

2. Отношение «=» является симметричным, а «<» и «£» - нет.

3. Отношение на N «являются взаимно простыми» является симметричным.

4. Отношения «<», «£» и «=» являются транзитивными, а отношение  = {(a,b): a,b ÎN и b = a+1} – нет, так как 34 и 45, но не 35.

Как по матрице представления определить свойства бинарного отношения

1. Рефлексивность: на главной диагонали стоят все единицы, звездочками обозначены нули или единицы.

.

2. Антирефлексивность: на главной диагонали все нули.

3. Симметричность: если .

4. Антисииметричность:

M_ij=1, i ≠j, M_ji=0

Матрицы бинарных отношений

Рассмотрим два конечных множества A ={a₁,a₂,…,a_m} и B={b₁,b₂,…,b_n} и бинарное отношение .

Определим матрицу размераm×n бинарного отношения Р по следующему правилу:

Полученная матрица содержит полную информацию о связях между элементами.Любая матрица, состоящая из 0 и 1, является матрицей некоторого бинарного отношения.

ПРИМЕР 1. Матрица бинарного отношения,A={1,2,3}, заданного на рисунке

имеет вид

Основные свойства матриц бинарных отношений:

1. Если тои , где сложение осуществляется по правилам 0+0=0, 1+1=0+1=1+0=1, а умножение – обычным способом.

Итак,

2. Матрица получается перемножением соответствующих элементов изи:.

3. Если , то , где умножение матриц производится по обычному правилу умножения матриц, но произведение и сумма элементов – по определённым в свойстве 1 правилам.

4. Матрица обратного отношения Р^-1 равна транспонированной матрице отношения Р: .

5. Если , то.

6. Матрица тождественного отношения id_A единична:

ПРИМЕР 2. Пусть - матрицы отношений P и Q. Тогда

ПРИМЕР 3.

Если , то

Рассмотрим свойства отношений на языке матриц.

Пусть Р – бинарное отношение на множестве .

Отношение Р:

• рефлексивно, если на главной диагонали матрицы отношения расположены только единицы;

• симметрично, если матрица симметрична относительно главной диагонали;

• антисимметрично, если в матрице все элементы вне главной диагонали являются нулевыми;

• транзитивно, если выполнено соотношение .

ПРИМЕР 4. Проверим, какими свойствами обладает отношение , А={1,2,3}, изображённое на рисунке.

Составим матрицу отношения Р:

Так как в матрице на главной диагонали имеются нулевые элементы, отношение Рне рефлексивно.

Несимметричность матрицы означает, что отношение Рне симметрично.

Для проверки антисимметричности вычислим матрицу .

Поскольку в полученной матрице все элементы, стоящие вне главной диагонали, нулевые, отношение Р антисимметрично.

Так как (проверьте!), то есть Р являетсятранзитивным отношением.