Лекция 6. ОБРАБОТКА МАТРИЦ В С++

В С++ определены и двумерные массивы (матрицы), например матрица A, состоящая из 4 строк и 5 столбцов..

Двумерный массив (матрицу) можно объявить так:

тип имя_переменной [n][m];

где n – количество строк в матрице(строки нумеруются от 0 до n-1), m – количество столбцов (столбцы нумеруются от 0 до m-1).

Например,

int x[10][15];

Описана матрица x, состоящая из 10 строк и 15 столбцов (строки

нумеруются от 0 до 9, столбцы от 0 до 14).

Для обращения к элементу матрицы необходимо указать ее имя, и в квадратных скобках номер строки, а затем в квадратных скобках – номер столбца. Например, x[2][4] – элемент матрицы x, находящийся в третьей строке и

пятом столбце.

В С++ можно описать многомерные массивы, которые можно объявить с

помощью оператора следующей структуры:

тип имя_переменной [n1][n2]…[nk];

6.1. Блок-схемы основных алгоритмов обработки матриц

Блок-схема ввода матрицы представлена на рис. 6.1

i=0,N-1

printf("N="); scanf("%d",&N); printf("M="); scanf("%d",&M); printf("\n Vvedite A \n"); for(i=0;i<N;i++)

1

for(j=0;j<M;j++)

{

scanf("%f",&b);

a[i][j]=b;

}

C использованием cin и cout ввод матрицы можно реализовать следующим

образом.

cout<<"N="; cin>>N; cout<<"M="; cin>>M; cout<<"\n Vvedite A \n"; for(i=0;i<N;i++)

for(j=0;j<M;j++)

cin>>a[i][j];

Блок-схема вывода матрицы представлена на рис. 6.2

C использованием функций printf и scanf построчный вывод матрицы

можно реализовать следующим образом. printf("\n Matrica A\n");

for(i=0;i<N;i++)

{for(j=0;j<M;j++)

printf("%f\t",a[i][j]);

printf("\n");}

C использованием cin и cout построчный вывод матрицы можно реализовать

следующим образом. cout<<"\n Matrica A\n";

for(i=0;i<N;cout<<endl,i++)

for(j=0;j<M;j++)

cout<<"\t"<<a[i][j]);

2

На рис. 6.3 представлена программа ввода-вывода матрицы т результаты ее работы.

Рис 6.3. Результаты работы программы ввода матрицы и ее вывода

Вначале в качестве максимального элемента запоминается первый элемент матрицы A[0][0], номер строки imaх=0, jmax=0. Затем организуется цикл прохода по матрице, где каждый элемент сравнивается со значением max, и если

3

float a[20][20];

int i,j,n,m, imax, jmax; float max;

// ввод матрицы

...

max=a[0][0]; imax=0; jmax=0; for(i=0;i<n;i++)

for(j=0;j<m;j++)

if (a[i][j]<max)

{

max=a[i][j];

imax=i;

jmax=j;

}

printf("\nmax=%f\n",max);

printf("\nimax=%d\n",imax);

printf("\njmax=%d\n",jmax);

4

Перед рассмотрением других алгоритмов, давайте вспомним некоторые свойства матриц (см. рис. 6.5):

●если номер строки элемента совпадает с номером столбца (i = j), это означает что элемент лежит на главной диагонали матрицы;

●если номер строки превышает номер столбца (i > j), то элемент находится ниже главной диагонали;

●если номер столбца больше номера строки (i < j), то элемент находится выше главной диагонали.

●элемент лежит на побочной диагонали квадратной матрицы , если его

индексы удовлетворяют равенству i + j +1 = n;

●неравенство i + j + 1 < n характерно для элемента находящегося выше побочной диагонали квадратной матрицы;

●соответственно, элементу квадратной матрицы, лежащему ниже

побочной диагонали соответствует выражение i + j + 1 > n.

Рис 6.5. Соотношение индексов у квадратной матрицы Вспомним из курса высшей математики некоторые типы квадратных матриц:

●матрица называется единичной, если все элементы нули, а на главной диагонали единицы;

●матрица называется диагональной, если все элементы нули, кроме

главной диагонали;

●матрица нулевая, если все элементы нули;

●матрица называется верхнетреугольной, если все элементы ниже

главной диагонали нули; ● матрица называется нижнетреугольной, если все элементы выше

главной диагонали нули;

● матрица называется симметричной, если A= AT .

Для проверки, что матрица В является обратной матрице А, нужно проверить условие А× В=Е (Е – единичная матрица).

Дальнейшие алгоритмы работы с матрицами рассмотрим на примерах решения задач.

ЗАДАЧА 6.1. Найти сумму элементов матрицы, лежащих выше главной диагонали.

5

6

for(i=0;i<N;i++)

for(j=0;j<M;j++)

cin>>a[i][j];

for(S=i=0;i<N;i++)

for(j=0;j<M;j++)

if (j>i) S+=a[i][j]; cout<<"S="<<S<<endl;}

На рис.6.7 приведен второй алгоритм решения задачи.

S=0, i=0;i<N;i++

j=i+1;j<M;j++

ВыводS

S += A[i][j]

Рис 6.7. Второй вариант решения задачи 7.1 ЗАДАЧА 6.2. Вычислить количество положительных элементов квадратной

матрицы, расположенных по ее периметру и на диагоналях. Блок-схема решения приведена на рис.6.7.

Матрица из N строк и N столбцов

Из соотношения индексов на побочной диагонали i + j+ 1= n находим j = n- i-1

7

Рис 6.7. Блок-схема к примеру 6.2

8

#include <iostream> using namespace std; int main()

{int k,i,j,N,a[20][20]; cout<<"N=";cin>>N; cout<<"Input Matrix A"<<endl; for(i=0;i<N;i++) for(j=0;j<N;j++) cin>>a[i][j];

//цикл прохода по главной и побочной диагоналям for(i=k=0;i<N;i++)

{ if(a[i][i]>0)k++; if(a[i][N-i-1]>0)k++;}

//цикл прохода по первой и последней строках матрицы, //по первому и последнему столбцам, //за исключением крайних элементов for(i=1;i<N-1;i++)

{if(a[0][i]>0)k++; if(a[N-1][i]>0)k++; if(a[i][0]>0)k++; if(a[i][N-1]>0)k++;}

//проверка, пересекаются ли диагонали, когда размерность //матрицы – нечетное число

if ((N%2!=0)&&(a[N/2][N/2]>0))k--; cout<<"k="<<k<<endl;}

ЗАДАЧА 6.3. Проверить, является ли заданная квадратная матрица единичной. Единичной называют матрицу, у которой элементы главной диагонали –

единицы, а все остальные – нули.

#include <iostream> using namespace std; int main()

{int pr,i,j,N,a[20][20]; cout<<"N=";cin>>N;cout<<"Input Matrix A"<<endl; for(i=0;i<N;i++)

for(j=0;j<N;j++)

cin>>a[i][j];

//Предполаем, что матрица — единичная, pr=1. for(pr=1,i=0;i<N;i++)

for(j=0;j<N;j++)

//Если элемент лежит на главной диагонали и это не 1, //или элемент вне главной диагонали и это не 0, то // матрица не единичная, pr=0.

if (((i==j) && (a[i][j]!=1)) || ((i!=j) && (a[i][j]!=0))) { pr=0; break; }

if (pr) cout<<"Единичная матрица\n";

else cout<<"Матрица не является единичной\n";}

9

ЗАДАЧА 6.4. Поменять местами элементы главной и побочной диагонали матрицы A(k,k). Алгоритм сводится к обмену элементов на главной и побочной

диагоналях в каждой строке, его блок-схема приведена на рис.6.8.

#include <iostream> using namespace std; int main()

{

int i,j,k;

double b,a[20][20]; cout<<"k="; cin>>k;

cout<<"Input Matrix A"<<endl; for(i=0;i<k;i++)

for(j=0;j<k;j++)

cin>>a[i][j];

for(i=0;i<k;i++)

{

b=a[i][i]; a[i][i]=a[i][k-1-i]; a[i][k-1-i]=b;}

cout<<"Output Matrix A"<<endl; for(i=0;i<k;cout<<endl,i++)

for(j=0;j<k;j++)

cout<<a[i][j]<<"\t";

}

i = 0; i<k; i++

b = a[i][i] a[i][i]=a[i][k-i-1] a[i][k-i-1]=b

Рис 6.8. Блок-схема к примеру 6.4

ЗАДАЧА 6.5. Преобразовать исходную матрицу A(N,M) так, чтобы нулевой элемент каждой строки был заменен средним арифметическим элементов этой

10

строки. Необходимо в каждой строке матрицы найти сумму элементов, разделить на количество элементов в строке и полученный результат записать в первый элемент строки. Блок-схема изображена на рис.6.9.

Рис 6.9. Блок-схема к примеру 6.5

#include <iostream> using namespace std; int main()

{int i,j,N,M; double S,a[20][20];

cout<<"N="; cin>>N; cout<<"M="; cin>>M; cout<<"Input Matrix A"<<endl; for(i=0;i<N;i++)

for(j=0;j<M;j++)

cin>>a[i][j];

for(i=0;i<N;a[i][0]=S/M,i++) for(S=j=0;j<M;j++) S+=a[i][j];

cout<<"Output Matrix A"<<endl; for(i=0;i<N;cout<<endl,i++) for(j=0;j<M;j++) cout<<a[i][j]<<"\t";}

ЗАДАЧА 6.6. Преобразовать матрицу A(m,n) так, чтобы строки с нечетными индексами были упорядочены по убыванию, c четными – по возрастанию. Перебираем все строки, если номер строки четный, то то упорядочиваем эту

11

12