2. Статистический анализ случайных ошибок

При проведении серии измерений некоторой физической величины (например, длины, с помощью линейки или силы тока с помощью амперметра) из-за случайных ошибок отдельные значения x₁, x₂ и т. д. неодинаковы и в качестве наилучшего значения искомой величины принимают среднее арифметическое:

(1)

где x_i – i-е измеренное значение, a n - общее число измерений. Тогда n измеренных значений будут распределены около среднего значения, (рис. 2). Во многих случаях приближается к «истинному значению» x очень близко, если n достаточно велико и отсутствуют систематические ошибки.

Рис. 2.

Малый разброс измеренных значений относительно среднего значения означает высокую точность.

Найденное таким образом «наилучшее значение» результата измерения нуждается в оценке его неопределенности (ошибки или погрешности). Сформулируем способ, с помощью которого можно охарактеризовать разброс данных относительно среднего значения.

Ожидаемая ошибка каждого отдельного измерения x_i характеризуется стандартным отклонением S, которое определяется как

, (2)

где n – общее число измерений. Смысл выражения (2) заключается в том, что квадрат стандартного отклонения S² равен среднему арифметическому значению квадратов отклонений отдельных измерений от среднего значения измеряемой величины.

Если стандартное отклонение мало, то разброс измеренных значений относительно среднего значения является малым, следовательно, точность измерения высокая. Заметим, что стандартное отклонение является всегда положительным и имеет ту же размерность, что и измеренные значения.

Используя всю совокупность измерений, мы, естественно, находим искомое значение измеряемой величины с лучшей точностью, чем это можно сделать с помощью одного измерения. Причина улучшения заключается в том, что положительные и отрицательные ошибки частично компенсируются при усреднении результатов нескольких измерений.

Поэтому в качестве меры погрешности результатов измерений величины x (или неопределенности среднего значения ) принимают стандартное отклонение от среднего S_m, которое часто называют стандартной погрешностью и определяют как

, (3)

где S – стандартное отклонение (2), а индекс m означает mean – среднее.

Для более полного обсуждения разброса или распределения измеренных значений полезно рассмотреть нормальное или Гауссово распределение.

3. Нормальное или Гауссово распределение

На рис. 3а в виде диаграммы показано распределение результатов n измерений некоторой физической величины x относительно среднего значения . Ось абцисс разбита на равные интервалы шириной x. Высота каждого столбика диаграммы показывает количество N(x) близких результатов измерений, попадающих в интервал x с центром в точке x. Пунктирная кривая (которая здесь не является симметричной) вычерчена, чтобы показать зависимость числа отсчетов N(x) от x при относительно небольшом числе измерений.

Рис. 3.

Если число измерений n становится очень большим, то результаты измерений стремятся к симметричному распределению около среднего значения (рис. 3б). Как показывается в теории вероятности, в идеальном случае такая кривая описывается аналитическим выражением

, (4)

где n - очень большое число измерений, - среднее значение, а  - стандартное отклонение, определяемое по формуле (2) при условии n  . Величина ² называется дисперсией. Уравнение (4) представляет собой распределение Гаусса или нормальное распределение.

Для большого числа измерений n распределение Гаусса описывает теоретическое распределение измеренных значений x относительно среднего значения . Если измерения выполняются с высокой точностью, то  будет малым, и нормальное, или Гауссово, распределение будет иметь острый пик при x = (рис. 4).

Рис. 4.

Разделив обе части уравнения (4) на n и определив N(x)/n как Р(x), имеем:

. (5)

Выражение (5) имеет смысл плотности вероятности того, что в результате измерения мы получим значение х. Таким образом, вероятность того, что измеренное значение x будет лежать в некотором интервале x₁ < x < x₂, определяется площадью под соответствующим участком кривой:

.

Заметим, что наиболее вероятным значением, которое можно ожидать в результате измерения, является среднее значение. Следует также отметить, что полная площадь под кривой, представляющей функцию P(x), всегда равна единице:

.

Особенностью распределения Гаусса является то, что 68% всех результатов измерений попадают в интервал от до, 95% всех результатов измерений попадают в интервал отдо, а 99,7% всех результатов измерений попадают в интервал отдо. Другими словами, с вероятностью 0,68 истинное значение величиныx лежит в интервале , с вероятностью 0,95 – в интервале, и т.д.

Следует иметь в виду, что распределение Гаусса не является единственно возможным. Могут существовать и другие виды распределений, например, распределение Пуассона, экспоненциальное распределение, ²-распределение и т.д. Тем не менее, нормальное распределение встречается достаточно часто, причём все остальные распределения в пределе (при n ) переходят в распределение Гаусса.

На практике, однако, число измерений обычно сравнительно невелико. В этом случае для повышения достоверности результатов измерений следует при оценке погрешности пользоваться модифицированными формулами. Так, абсолютная погрешность x измеряемой величины x при относительно малом (скажем, менее 10) количестве измерений определяется как:

, (6)

где t_,n – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений n и от величины доверительной вероятности . Значения коэффициентов t_,n для некоторых различных значений n и  приведены в табл. 1.

В соответствии с действующими государственными стандартами рекомендуется при оценке погрешностей пользоваться доверительной вероятностью  = 0,95.

Таблица 1.

n		0,90	0,95	0,98
2		6,31	12,71	31,82
3		2,92	4,30	6,96
4		2,35	3,18	4,54
5		2,13	2,78	3,75
6		2,02	2,57	3,36
7		1,94	2,45	3,14
8		1,90	2,36	3,00
9		1,86	2,31	2,90
10		1,83	2,26	2,82

Таким образом, окончательный результат измерений запишется в виде:

, (), (7)

где x определяется из выражения (6). Запись (7) означает, что истинное значение величины x с вероятностью  находится в интервале значений от до.