Зависимость состояний от времени
S |
| Ψ |
A |
t = t1 |
|
t = t2 |
R = const |
C1 |
|
C'1 |
||
|
|
|
|||
|
|
| Ψ1 |
C2 |
| Ψ2 |
C'2 |
|
|
= C |
= C' |
||
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
. |
|
. |
|
|
|
Cn |
|
C'n |
| Ψ1 |
= C1| 1 + C2| 2 + C3| 3 + … + Cn| n |
| Ψ2 |
= C'1| 1 + C'2| 2 + C'3| 3 + … + C'n| n |
| Ψ (t) = C1(t)| 1 + C2(t)| 2 + C3(t)| 3 + … + Cn(t)| n
Представление Шредингера
| Ψ (t) = C1(t)| 1 + C2(t)| 2 + … + Cn(t)| n
Представление Гейзенберга
| Ψ (t) = C1| 1 (t) + C2| 2 (t) + … + Cn| n (t)
Представление Дирака
| Ψ (t) = C1(t)| 1 (t) + C2(t)| 2 (t) + … + Cn(t)| n (t)
Оператор эволюции
| Ψ t2 = U t ∙ | Ψ t1
C'1 |
U11 |
U12 |
U13 . |
U1n |
C1 |
C'2 |
U21 |
U22 |
U23 . |
U2n |
C2 |
C'3 |
= U31 |
U32 |
U33 . |
U3n |
• C3 |
. |
. . . . . |
. |
|||
C'n |
Un1 |
Un2 Un3 . |
Unn |
Cn |
|
| Ψ 1 |
U (t2 – t1) | Ψ 2 |
U (t3 – t2)| Ψ 3 |
U (t3 – t1)
U32 • U21 = U31
Операторы эволюции образуют ГРУППУ
U |
→ (U |
)2 → (U |
)3 |
→ … → (U |
)N |
t |
t |
t |
|
t |
|
U t |
→ U2 t |
→ U3 t |
→ … → UN t |
||
Udt — оператор бесконечно-малого сдвига по оси t (инфинитезимальный оператор эволюции)
Матричное представление операторов эволюции
U t = ( Uij ) Uij = f ( t )
Ряд Тейлора: (x) = (x = 0) + С1 x + C2 x2 + …
U t = U t = 0 + (dU/dt) t + (d2U/dt2) t 2 + …
(при t → 0)
(Udt )ij = (Uo)ij + (dUij /dt) dt = (Uo)ij – (i/ )Hij dt
| Ψ 2 |
= U t | 1 |
при t = 0 |
| Ψ 1 |
= Uо | 1 |
|
Uo = E |
(Uo)ij = ij = |
1 |
при |
i = j |
0 |
при |
i j |
(Udt )ij = ij – (i/ )Hij dt
C'1 |
U11 U12 U13 |
. |
U1n |
C1 |
. |
. . . . . |
. |
||
C'i |
= Ui1 Ui2 Ui3 |
. |
Uin |
• Ci |
. |
. . . . . |
. |
||
C'n |
Un1 Un2 Un3 |
. |
Unn |
Cn |
C'i = Uij Cj = [ ij – (i/ )Hij dt] Cj =
=( ij Cj) – (i/ ) dt (Hij Cj) =
=Ci – (i/ ) dt (Hij Cj)
C'i – Ci = dCi = – (i/ ) dt (Hij Cj)
(i ) |
dCi |
= |
(Hij Cj) |
|
dt |
||||
|
|
|
||
|
|
|
|
Уравнение Шредингера
i ddt 
C1 |
H11 H12 H13 |
. |
H1n |
C1 |
. |
. . . . . |
. |
||
Ci |
= Hi1 Hi2 Hi3 |
. |
Hin |
• Ci |
. |
. . . . . |
. |
||
Cn |
Hn1 Hn2 Hn3 |
. |
Hnn |
Cn |
i d |
| Ψ = H| Ψ |
d Ψ |
i = HΨ |
||
dt |
|
dt |
|
|
H — оператор Гамильтона (гамильтониан)
Оператор Гамильтона
Ψ(t + dt) = Ψ(t) + d Ψ = Ψ(t) – (i/ )[H Ψ(t)]dt
Спектр оператора Гамильтона
Н |
| h1 , | h2 , … , | hn |
||
E1, |
E2, … , En |
||
|
|||
Уравнение на собственные значения
(«стационарное уравнение Шредингера»)
Н| hi = Еi | hi НΨ = Е Ψ
Стационарные состояния
i d Ψ |
= HΨ |
НΨ = Е Ψ |
||
dt |
|
|
|
|
d Ψ |
|
d Ψ |
i |
|
i |
= Е Ψ |
|||
Ψ |
= – — Е dt |
|||
dt |
|
|
||
|
|
|
||
ln Ψ = – —i Еt + ln Ψ
o
i |
|
|
|
ln Ψ = – — Еt + ln Ψ o |
|||
|
Ψ |
i |
|
ln Ψ – ln Ψo = ln |
|||
Ψo |
= – — Еt |
||
|
|
||
Ψ = exp |
i |
Еt |
|
– — |
|||
Ψo |
|
|
|
|
E |
|
|
Ψ = Ψo e |
– i — t |
= Ψ e – iωt |
(ω = E/ ) |
|
|||
|
|
o |
|
(ω — собственная частота стационарного состояния)