Оптика / лаб.раб.оптика для физиков / л.р. физ. №1 по опт

Лабораторная работа №1

Преломление света на сферической поверхности и определение фокусных расстояний тонких линз.

Цель работы: изучение законов преломления лучей на сферической границе раздела двух сред, получение изображений и определение расстояний тонких линз.

Приборы и принадлежности: оптическая скамья с осветителем и светофильтром, объект-сетка, положительные и отрицательные линзы, экран.

Введение

Теория большинства оптических приборов базируется на представление о световых лучах, распространяющихся прямолинейно в однородном веществе и подчиняющимся законам отражения и преломления света на границе раздела двух сред. Раздел оптики, рассматривающий теорию таких приборов, называемых лучевой или геометрической оптикой.

Каждая светящаяся точка источника света в геометрической оптике рассматривается как вершина расходящегося пучка лучей, называемого гомоцентрическим, т.е. имеющим общий центр. Если после отражения и преломления этот пучок превращается в пучок, сходящийся в одной точке, то и последний является гомоцентрическим пучком, а его центр называется изображением светящейся точки. При сохранении гомоцентричности каждая точка источника дает одну точку изображения. Такие изображения называются точечными или стигматическими.

В силу обратимости световых лучей изображение можно рассматривать как источник, а источник как изображение. При стигматическом изображении. Центры малых пучков называются сопряженными точками той оптической системы, в которой происходит преобразование расходящегося гомоцентрического пучка в сходящийся.

Соответственные лучи и пучки также называются сопряженными. Поверхность, нормальная к лучам, называется волновой поверхностью. Волновая поверхность гомоцентрического пучка в однородной изотропной среде есть, очевидно, сферическая поверхность.

Если в результате отражения и преломления в оптической системе пучок перестает быть гомоцентрическим, то волновая поверхность перестает быть сферической. Стигматичность изображения точки перестает быть точечным.

Задача практической оптики заключается в получении изображений, точно передающих форму источника (предмета), поэтому важнейшим вопросом лучевой оптики является создание и сохранение условий гомоцентричности пучков.

Краткая теория преломления и отражения света

на сферической поверхности.

Подробное рассмотрение этого вопроса важно потому, что в качестве преломляющих и отражающих поверхностей в большинстве оптических приборов применяются плоские или сферические поверхности, т.к. изготовление и качественная обработка поверхности другой формы значительно сложнее.

Пусть две однородные среды с показателем преломления n₁ и n₂ разделены сферической поверхностью с радиусом кривизны R и центром кривизны С, рис. 1

n₁

n₂

-𝓲

M

-r

-P₁

u₂

h

R

0

-P₂

φ

-u₁

F₂

F₁

-x₁

-f

f₂

X₂

-𝓪

𝓫

рис. 1

Прямая Р₁С, проходящая через центр кривизны С и точечный источник Р₁ (или произвольно выбранную точку произвольного источника), называется главной оптической осью сферической поверхности.

Изображением т. Р₁, лежащей на главной оптической оси, будет т.Р₂, лежащая, согласно закону преломления, так же на главной оптической оси.

Используя законы преломления и отражения света при построении изображений в оптических системах, здесь и в дальнейшем, условимся пользоваться следующими правилами знаков для углов и расстояний:

а) все расстояния отсчитываются от вершины О сферической поверхности (точка пересечения главной оптической оси со сферической поверхностью) и считаются положительными, если они направлены в сторону распространения света от источника и сферической поверхности;

б) углы отсчитываются от направления главной оптической оси (или нормали к сферической поверхности) и считаются положительными, если они отсчитываются по часовой стрелке.

На чертеже будем отмечать только положительные значения длин и углов. Если какая-нибудь величина по принятому условию отрицательна, то для получения положительной величины перед ней будем ставить знак минус.

Рассмотрим узкий гомоцентрический пучок лучей, падающий из т. Р₁ на поверхности раздела двух сред. Положим пучок настолько узким, что практически можно считать отрезок Р₁М равным Р₁О, а М Р₂ равным ОР₂ и т. д. такие лучи, составляющие с главной оптической осью малые углы, называются параксиальными (приосевыми).

По закону преломления:

(1)

Для параксиальных лучей .

Заменяя в формуле (1) синусы углов через углы, получим:

(2)

Из треугольника Р₁МС и СМР₂ (рис. 1) имеем:

, -𝓻 = φ- (3)

Подставляя (3) и (2) и учитывая, что :

, , получим:

(4)

При преломлении величина Q, как видно из (4), сохраняет свое значение. Она носит название нулевого варианта Аббе.

Для многих целей формуле (4) удобно придать следующий вид:

(5)

величина:

называется оптической силой преломляющей поверхности .

Из формулы (5) следует, что при соблюдении параксиальности лучей заданной величине «𝓪» вне зависимости от u₁ соответствует определенное значение «𝓫». Это значит, что все лучи параксиального пучка исходящего из т. Р₁ соберутся в сопряженной точке Р₂ , т.е преломленный пучок так же будет гомоцентрическим.

Если – (предмет находится на бесконечно большом расстоянии), то:

(6)

Точка F₂, где соберутся параксиальные лучи, идущие из бесконечности (или лучи, идущие параллельно главной оптической оси), называется вторым главным фокусом преломляющей поверхности.

Расстояние f₂ называется вторым главным фокусным расстоянием. Первым главным фокусом F₁ назовем точку, удовлетворяющую следующему условию: при помещении в эту точку точечного источника Р₁ после преломления должен возникнуть пучок параллельных лучей (т.е. 𝓫=). Расстояние ОF₁ равно:

(7)

Разделив правые и левые части (6) и(7), получим:

(8)

Разделив правую и левую часть равенства (5) на величину:

получим:

(9)

Формуле (9) можно придать несколько иной вид. Для этого введем в рассмотрение отрезки, определяющие положение точек Р₁ и Р₂ относительно фокусов F₁ и F₂,(рис.1). Соблюдая правило знаков (расстояние ₁ и ₂ отсчитываются от соответствующих фокусов), из рис. 1 имеем:

-𝓪=-𝓯₁-₁ , (10)

Подставляя эти значения в формулу (9), получим после преобразований:

(11)

Формула (11) называется формулой Ньютона.

Сравнивая (5), (6) и (7) легко убедиться, что:

(12)

Результаты, полученные для преломляющих сферических поверхностей могут быть применены и для отражающих сферических поверхностей (сферических зеркал), если использовать введенное ранее правило знаков для углов, (рис. 2).

r

-

рис. 2

Закон отражения соответствует: (13)

Соотношение (13) формально может быть получено из закона преломления (1), если положить : .

(14)

На основании этого можно сделать вывод, что любую формулу, выведенную из преломляющей поверхности, можно использовать для описания явлений в сферических зеркалах, если учесть соотношение (14).

Так, формула (5) для сферического зеркала примет вид:

(15)

Случай вогнутого и выпуклого зеркала отличается лишь знаком величины . Легко видеть, что фокус вогнутого зеркала- действительный ( в нем пересекаются отраженные лучи), а фокус выпуклого зеркала – мнимый ( в нем пересекаются продолжения отраженных лучей). В отличие от преломляющей сферической поверхности, сферическое зеркало имеет только один фокус. Правило знаков при определении величин - те же, что и в случае преломляющих сферических поверхностей.

Посмотрим, как при преломлении на сферической поверхности изображается отрезок прямой, перпендикулярной оптической оси.

На рис. 3 Р₁ – точечный объект, Р₂ – его изображение.

Р₂

0

С

Р₁

рис. 1

Посмотрим, как при преломлении на сферической поверхности изображается отрезок прямой, перпендикулярной оптической оси. На рис. 3 Р₁ - точечный объект, Р₂ – его изображение. Повернем ось Р₁С Р₂ вокруг центра кривизны на малый угол Δφ. При этом точка Р₁ опишет дугу Р₁Р₁^̍, а точка Р₂ – дугу Р₂Р₂^̍. Все точки дуги Р₁Р₁^̍ отразится соответствующими точками дуги Р₂Р₂^̍. В силу малости дуг Р₁Р₁^̍ и

Р₂Р₂^̍, заменим их прямолинейными отрезками и, перпендикулярными к оси Р₁СР₂ ( по построению оптическая ось перпендикулярна дугам Р₁Р₁^̍ и Р₂Р₂^̍).

Таким образом, изображением малого отрезка У₁ перпендикулярного оптической оси, является отрезок У₂, также перпендикулярной к оси. Отсюда вытекает и другой, достаточно очевидный вывод: изображение плоской поверхности Δ₁, нормальной к оптической оси, есть поверхность Δ₂, также нормальная к оптической оси.

Каждая точка изображения является местом пересечения всех лучей, исходящих из соответствующей точки изображения. Для построения изображения точки, достаточно найти пересечение двух лучей, ход которых заранее известен. Такими лучами являются:

1. Луч, идущий от точки Р объекта через первый фокус Р₁. После преломления ( отражения) на сферической поверхности такой луч идет параллельно оси.

2. Луч, идущий от точки Р объекта параллельно оптической оси. После преломления такой луч пройдет через фокус Р_2.

М

О₁

Р₂

Р₁Р₁

-

N

рис. 4

Рис. 4 иллюстрирует построение изображения малого отрезка Р₂Р₂^̍ нормального к оптической оси.

Для сравнительной характеристики объекта и его изображения введем понятие линейного и углового увеличения.

Назовем линейным увеличением β отношение линейных размеров изображения к линейным размерам объекта

(16)

Условимся считать отрезки, перпендикулярные к оптической оси положительными, если они направлены вверх, и отрцательными, если они направлены вниз.

Из треугольника Р₁Р₁^̍F₂ и F₁O₁N находим:

(17)

В основании (16) и(17) линейное увеличение:

(18)

Из теоремы Ньютона (11) имеем:

(19)

Преобразуем формулу линейного увеличения к другому виду. Для этого дополнительно проведем лучи так, как показано на рис.5

Р₁^̍

О

Р₂

О₁

-

-

Р₁

Р₂^̍

рис. 5

Для параксиальных лучей (малых углов 𝓲,𝓻, -𝓾₁, 𝓾₂,) из треугольников ОР₁Р₂ и О ̍Р₁̍Р₂̍ вытекают следующие соотношения:

(20)

Закон преломления для малых углов имеет вид:

(21)

Воспользовавшись последним уравнением системы (20) и соотношением (21), получим:

(22)

Из треугольников О ^̍МР₁ и О ^̍МР₁ ̍ для параксиальных лучей следует :

(23)

Подставляя значение из (23) в (22), получим выражение для линейного увеличения:

, (24)

Которое может быть переписано в следующем виде:

(25)

Произведение “носит название инварианта

Лагранжа-Гельмгольца. Угловым увеличением называется величина, равная отношению тангенсов углов, под которыми виден предмет с расстояний :

(26)

Связь между линейным и угловым увеличением устанавливается на основании формул (24) и (25):

(27)

Таким образом линейное увеличение обратно пропорционально угловому.

Тонкие линзы.

Оптическими линзами называются тела, изготовленные из однородного прозрачного в данной области спектра материала и ограниченные поверхности, из которых, по крайней мере одна, имеет радиус кривизны, отличный от нуля. Обычно поверхности, ограничивающие линзу являются сферическими. Материалом для линз, используемых в видимой области, служит стекло, в ультрафиолетовой - главным образом, кварц, в инфракрасной – кристаллы и др.

Прохождение света через линзу можно рассматривать как последовательное преломление на двух сферических поверхностях (рис. 6)

Пусть С₁ и С₂ – центры сферических поверхностей с радиусами кривизны . Назовем главной оптической осью системы сферических поверхностей прямую, проходящую через центры кривизны поверхностей. Точка О₁ и О₂ пересечения оптической оси со сферическими поверхностями, ограничивающими линзу, называются вершинами сферических поверхностей.

Рассмотрим точечный объект Р₁, расположенный на главной оптической оси. Если бы имелась лишь одна преломляющая поверхность, то изображение получилось бы в точке Р₂. Это изображение нужно рассматривать как объект для второй преломляющей поверхности. Его изображение получится в точке Р₂^̍. Таким образом, точка Р₂^̍ будет изображением объекта Р₁, даваемым совокупностью обоих преломляющих поверхностей.

Для нахождения местоположения точки Р_2̍^̍ применим к каждой из преломляющих поверхностей формулу :

(28)

(29)

На рис. 6 видно, что .

Р₁

С₂

рис. 6

Если рассматривать тонкую линзу, для которой расстояние между вершинами преломляющих поверхностей мало по сравнению с расстоянием до объекта и изображения, то в пренебрежении толщиной линзы и формула (29) перепишется в виде:

(30)

Складывая выражения (28) и (30), получим:

(31)

Если линза находится в однородной среде, то приняв обозначения :

(32)

Перепишем формулу (31) в виде:

(33)

Величина: (34)

Называется оптической силой линзы в данной среде. Легко видеть, что оптическая сила тонкой линзы равны сумме оптических сил ее

Преломляющих поверхностей:

(35)

Повторяя рассуждения, приведенные при рассматривании преломления на одной сферической поверхности, найдем фокусные расстояния тонкой линзы:

(36)

Как правило, величина , следовательно, знак оптической силы и фокусных расстояний зависит от знака величины и .

На основании формулы (36) формула (33) перепишется в виде:

(37)

Формулы (33) и (37) обычно называются формулами тонкой линзы.

Если оптическая сила линзы положительна, то в этом случае линза называется собирательной (положительной) линзой. Пучок лучей, параллельных главной оптической оси, после преломления в линзе в линзе собирается в точке - втором главном фокусе линзы Если отрицательна, то линза называется рассеивающей (отрицательной) Пучок лучей, параллельных главной оптической оси отрицательной линзы, после прохождения линзы образует расходящийся пучок лучей, продолжения которых пересекаются во втором главном фокусе (рис. 7, б). В отличие от положительной линзы, фокусы отрицательной линзы будут мнимыми.