3.Однофакторный дисперсионный анализ.

Пусть результаты наблюдений составляют независимых выборок, полученных нормально распределенных генеральных совокупностей, которые имеют различные средние и равные дисперсии . Проверяется гипотеза о равенстве средних На практике такая задача возникает при исследовании влияния, которое оказывает изменение некоторого фактора на измеряемую величину. Например, если измерения проводятся на различных приборах, то можно исследовать влияние фактора «прибор» на результаты измерений. В данном случае нас интересует вопрос, имеют ли различные приборы одну и ту же систематическую ошибку.

Пусть обозначает -й элемент -й выборки, -выборочное среднее -й выборки, т.е.

;

- общее выборочное среднее, т.е.

где -общее число наблюдений,

Общая сумма квадратов отклонений от общего среднего может быть представлена так:

Это основное тождество дисперсионного анализа. Запишем его в виде

где -общая сумма квадратов отклонений наблюдений от общего среднего, - сумма квадратов отклонений выборочных средних от общего среднего , - сумма квадратов отклонений наблюдений от выборочных средних.

Данное тождество легко проверяется, если учесть, что

и

в силу определения и

Если верна гипотеза : , то статистики и независимы и имеют распределение с и степенями свободы. Следовательно, статистики и являются несмещенными оценками дисперсии . Значительное превышение величины над значением величины можно объяснить различием средних в группах. Отношение этих оценок имеет распределение Фишера с и степенями свободы, т.е.

Эта статистика используется для проверки гипотезы : . Гипотеза не противоречит результатам наблюдений, если выборочное значение статистики меньше квантили . В этом случае и являются несмещенными оценками параметров и . Если то гипотеза отклоняется и следует считать, что среди средних имеется хотя бы два не равных друг другу.

Практическая часть.

Выборочная линейная регрессия на по выборке , определяется уравнением

.

Тогда

,

Аналогично определяется выборочная линейная регрессия на :

.

Найдем коэффициент корреляции:

Проверка:

Прямые

,

пересекутся в точке (6,8826;5,01).

Вычислим остатки (см. таблицу),

где - расчетные значения.

Найдем остаточную сумму квадратов

.

Остаточная дисперсия

Сумма квадратов, обусловленная регрессией

Коэффициент детерминации

Коэффициент корреляции

Границы доверительных интервалов для параметров линейной регрессии имеют вид

Границы доверительного интервала для среднего значения , соответствующего заданному значению , определяются формулой

Доверительный интервал для дисперсии ошибок наблюдений имеет вид

,

.

Используя однофакторный дисперсионный анализ, найти и дл проверки гипотезы

по выборке (уровень значимости ).

Сумма всех элементов (компонент) выборки

Найдем

Далее

Тогда

Выборочное значение статистики

.

Найдем по таблице квантиль . Так как , то гипотеза о равенстве средних не отклоняется.

x	y	x^2	y^2	x*y	(x+y)^2	yreg	ei	ei^2
5,89	3,41	34,6921	11,6281	20,0849	86,49	4,403956	-0,99396	0,987949
5,34	4,08	28,5156	16,6464	21,7872	88,7364	4,068236	0,011764	0,000138
7,55	5,67	57,0025	32,1489	42,8085	174,7684	5,41722	0,25278	0,063898
7,66	5,74	58,6756	32,9476	43,9684	179,56	5,484364	0,255636	0,06535
3,56	3,86	12,6736	14,8996	13,7416	55,0564	2,981724	0,878276	0,771369
7,42	5,14	55,0564	26,4196	38,1388	157,7536	5,337868	-0,19787	0,039152
7,81	5,47	60,9961	29,9209	42,7207	176,3584	5,575924	-0,10592	0,01122
5,02	3,85	25,2004	14,8225	19,327	78,6769	3,872908	-0,02291	0,000525
8,9	6,17	79,21	38,0689	54,913	227,1049	6,24126	-0,07126	0,005078
7,87	5,87	61,9369	34,4569	46,1969	188,7876	5,612548	0,257452	0,066282
7,35	6,79	54,0225	46,1041	49,9065	199,9396	5,29514	1,49486	2,234606
6,58	5,1	43,2964	26,01	33,558	136,4224	4,825132	0,274868	0,075552
4,67	3,64	21,8089	13,2496	16,9988	69,0561	3,659268	-0,01927	0,000371
7,28	5,39	52,9984	29,0521	39,2392	160,5289	5,252412	0,137588	0,01893
4,81	3,76	23,1361	14,1376	18,0856	73,4449	3,744724	0,015276	0,000233
7,83	4,85	61,3089	23,5225	37,9755	160,7824	5,588132	-0,73813	0,544839
9,32	5,43	86,8624	29,4849	50,6076	217,5625	6,497628	-1,06763	1,13983
9,68	6,06	93,7024	36,7236	58,6608	247,7476	6,717372	-0,65737	0,432138
11,26	7,49	126,7876	56,1001	84,3374	351,5625	7,681804	-0,1918	0,036789
6	4,8	36	23,04	28,8	116,64	4,4711	0,3289	0,108175
7,31	6,87	53,4361	47,1969	50,2197	201,0724	5,270724	1,599276	2,557684
8,87	5,82	78,6769	33,8724	51,6234	215,7961	6,222948	-0,40295	0,162367
6,26	5,46	39,1876	29,8116	34,1796	137,3584	4,629804	0,830196	0,689225
5,09	3,62	25,9081	13,1044	18,4258	75,8641	3,915636	-0,29564	0,087401
6,91	5,69	47,7481	32,3761	39,3179	158,76	5,026564	0,663436	0,440147
8,86	6,51	78,4996	42,3801	57,6786	236,2369	6,216844	0,293156	0,08594
9,98	7,4	99,6004	54,76	73,852	302,0644	6,900492	0,499508	0,249508
9,11	6,28	82,9921	39,4384	57,2108	236,8521	6,369444	-0,08944	0,008
7,89	5,18	62,2521	26,8324	40,8702	170,8249	5,624756	-0,44476	0,197808
5,17	5,54	26,7289	30,6916	28,6418	114,7041	3,964468	1,575532	2,482301
5,17	3,98	26,7289	15,8404	20,5766	83,7225	3,964468	0,015532	0,000241
5,08	2,74	25,8064	7,5076	13,9192	61,1524	3,909532	-1,16953	1,367805
6,39	4,76	40,8321	22,6576	30,4164	124,3225	4,709156	0,050844	0,002585
6,91	4,44	47,7481	19,7136	30,6804	128,8225	5,026564	-0,58656	0,344057
8,6	5,9	73,96	34,81	50,74	210,25	6,05814	-0,15814	0,025008
3,81	2,82	14,5161	7,9524	10,7442	43,9569	3,134324	-0,31432	0,0988
6,18	4,39	38,1924	19,2721	27,1302	111,7249	4,580972	-0,19097	0,03647
7,88	5,76	62,0944	33,1776	45,3888	186,0496	5,618652	0,141348	0,019979
9,82	7,64	96,4324	58,3696	75,0248	304,8516	6,802828	0,837172	0,700857
4,2	3,52	17,64	12,3904	14,784	59,5984	3,37238	0,14762	0,021792
8,12	5,58	65,9344	31,1364	45,3096	187,69	5,765148	-0,18515	0,03428
5,29	3,88	27,9841	15,0544	20,5252	84,0889	4,037716	-0,15772	0,024874
6,89	4,36	47,4721	19,0096	30,0404	126,5625	5,014356	-0,65436	0,428182
5,17	3,93	26,7289	15,4449	20,3181	82,81	3,964468	-0,03447	0,001188
5,37	3,39	28,8369	11,4921	18,2043	76,7376	4,086548	-0,69655	0,485179
8,27	5,97	68,3929	35,6409	49,3719	202,7776	5,856708	0,113292	0,012835
4,69	2,86	21,9961	8,1796	13,4134	57,0025	3,671476	-0,81148	0,658493
7,33	5,33	53,7289	28,4089	39,0689	160,2756	5,282932	0,047068	0,002215
6,2	4,19	38,44	17,5561	25,978	107,9521	4,59318	-0,40318	0,162554
5,52	4,12	30,4704	16,9744	22,7424	92,9296	4,178108	-0,05811	0,003377
mx	my	sum(x^2)	sum(y^2)	sum(x*y)	sum[(x+y)^2]		s^2	Qe
6,8828	5,01	2522,848	1330,436	1818,253	7489,7906		0,374866	17,99358

7