Границы доверительного интервала для Lk имеют вид

Lk^*  S_LK [(l-1) F_1-(l-1,n-l)]^1/2

Практическая часть

1)Уравнения регрессии Y на X y=^*₀ +^*₁x и X на Y x=^*₀ +^*₁y

Объем выборки n=50. Предварительно вычислим

x_i = 400,61, y_i = 43,31, x²_i = 3256,75, y²_i = 185,15 , x_iy_i = 402,02

Тогда по формуле (1)

x^*==8,0122, y^*==0,8662

Для контроля правильности вычислений используется тождество

 (x_i+y_i)²= 4245,94

x²_i + 2 x_iy_i + y²_i = 3256,75+2*402,02+185,15=4245,94

Следовательно, вычисления проведены верно. Предварительно найдем

Q_x=3256,75- =46,9793

Q_y=185,15 - = 147,6396

Q_xy=402,02- = 53,9158

Окончательно из соотношений (5) получаем

D^*_x=0,9396, D^*_y = 2,9528

R=0,6606

По формулам (6) и (7) найдем оценки коэффициентов регрессии

₁^*= =1,1710

₀^* = =-8,5161

₁^*= =0,3726

₀^*==7,6894

Таким образом, выборочная линейная регрессия Y на Х имеет вид:

y=-8,5161+1,1710*x

выборочная линейная регрессия X на Y:

x=7,6894+0,3726*y

Точка пересечения (8,0122; 0,8662)

2)Вычисление ei , Qe , Qr , s2 , r2, rxy

Вычисляем остатки:

e_i = y_i – ŷ _i, i = 1,2,......,n . Все остатки приведены в таблице 1.

Находим остаточную сумму квадратов Q_e

Q_e = e²_i= 83,2197

По формуле (15) находим сумму квадратов, обусловленную регрессией Q_r

Q_r= Q_y -Q_e = 147,6396-83,2197=64,4199

Оценка дисперсии ошибок наблюдений по формуле (12) равна

S²=83,2197/(50-2)= 1,7337

Коэффициент детерминации R² по формуле (16)

R²= = 0,4363

Выборочный коэффициент корреляции

r_xy= + (0,4363)^1/2=0,6606

3)Доверительные интервалы

Значение квантили t_1-/2(n-2)= t_1-/2(48) = 1,678 (таблица П6)

Границы доверительных интервалов равны: для коэффициента ₀^*:

₀^* = -8,5161  2,6016

для коэффициента ₁^*

₁^*  t_1-/2(n-2) * s * []^1/2 = 1,1710  0,1818

Границы доверительного интервала для значения Y₀ соответствующего заданному значению переменной x=x₀:

y₀^*  t_1-/2(n-2) * s *[ + ()]^1/2 = y₀^*  1,0422*

Границы доверительного интервала для дисперсии ошибок наблюдений ²

< ² <

1,2869 < ² < 2,5066

Этот результат означает, что полученное уравнение регрессии на 54,93% объясняет общий разброс результатов наблюдений относительно горизонтальной прямой y=17,9212. Выборочный

4)Однофакторный дисперсионный анализ

Задача заключается в проверке гипотезы H₀ : m₁=m₂ где m_k– математическое ожидание чисел k-й группы. В нашем случае l=2,n=100.

Вычисления удобно проводить в такой последовательности

x . .=  x_ik=400,61+43,31 = 443,9200

 x²_ik=3256,75 + 185,15 = 3441,9

Далее из (17) и (18) получаем

Q=3441,9 – = 1471,2517

Q₁== 1276,6329

Q₂ = Q - Q₁= 194,6188

Найдем статистики S²₁ и S²₂

S²₁= = 1276,6329

S²₁= = 1,9859

Найдем выборочное значение статистики H₀

F_в= = 642,85

Так как квантиль распределения Фишера F_1-(1,n-2)= F_0,9 (1,48)=2,84 , что меньше выборочного значения статистики F_в, то гипотеза H₀ отклоняется на уровне значимости = 0,1.