Границы доверительного интервала для Lk имеют вид

Lk^*  S_LK [(l-1) F_1-(l-1,n-l)]^1/2

Практическая часть

1)Уравнения регрессии Y на x y=^*₀ +^*₁x и X на y x=^*₀ +^*₁y

Объем выборки n=50. Предварительно вычислим

x_i = 400,61, y_i = 49,31 , x²_i = 3256,75 , y²_i = 162,23 , x_iy_i = 448,49

Тогда по формуле (1)

x^*== 8,0122 ,y^*==0,9862.

Для контроля правильности вычислений используется тождество

 (x_i+y_i)²= 4315,96

x²_i + 2 x_iy_i + y²_i = 3256,75+2*448,49+162,23=4315,96

Следовательно, вычисления проведены верно. Предварительно найдем

Q_x=3256,75 - = 46,98

Q_y= 162,23 - = 113,6

Q_xy=448,49 - = 53,4084

Окончательно из соотношений (5) получаем

D^*_x=(1/50)46,98= 0,9396 , D^*_y =(1/50) 113,6= 2,272

R= = 0,731

По формулам (6) и (7) найдем оценки коэффициентов регрессии

₁^*= = 1,1368

₀^* = 0,9862-1,1368*8,0122=-8,122

₁^*= =0,4701

₀^*=8,0122-0,4701 *0,9862=7,5486

Таким образом, выборочная линейная регрессия Y на Х имеет вид:

y=-8,122+1,1368*x

выборочная линейная регрессия X на Y:

x=7,5486+0,4701 *y.

Точка пересечения (8,011; 0,9851)

2)Вычисление ei , Qe , Qr , s2 , r2, rxy

Вычисляем остатки:

e_i = y_i – ŷ _i, i = 1,2,......,n . Все остатки приведены в таблице 1.

Находим остаточную сумму квадратов Q_e

Q_e = e²_i=52,8853

По формуле (15) находим сумму квадратов, обусловленную регрессией Q_r

Q_r= Q_y -Q_e = 113,6-52,8853=60,7147

Оценка дисперсии ошибок наблюдений по формуле (12) равна

S²=52,8853/(50-2)=1,1018

Коэффициент детерминации R² по формуле (16)

R²= = 0,5346

Выборочный коэффициент корреляции

r_xy= + (0,5346)^1/2=0,7312

3)Доверительные интервалы

Значение квантили t_1-/2(n-2)= t_1-/2(48) = 1,678 (таблица)

Границы доверительных интервалов равны: для коэффициента ₀^*:

₀^* = =-8,122  2,074

для коэффициента ₁^*

₁^*  t_1-/2(n-2) * s * []^1/2 = 0,4185  0,2570

Границы доверительного интервала для значения Y₀ соответствующего заданному значению переменной x=x₀:

y₀^*  t_1-/2(n-2) * s *[ + ()]^1/2 = y₀^*  1,774*

Границы доверительного интервала для дисперсии ошибок наблюдений ²

< ² <

< ² <

0,7972 < ² < 1,9372

4)Однофакторный дисперсионный анализ

Задача заключается в проверке гипотезы H₀ : m₁=m₂ где m_k– математическое ожидание чисел k-й группы.В нашем случае l=2,n=50.

Вычисления удобно проводить в такой последовательности

x . .=  x_ik=400,61+49,31=449,92

 x²_ik== 3256,75+162,23 =3418,98

Далее из (17) и (18) получаем

Q=3418,98 – = 1394,7

Q₁==1234,12

Q₂ = Q - Q₁=1394,7-1234,12=160,58

Найдем статистики S²₁ и S²₂

S²₁= = =1234,12

S²₂= = =3,345

Найдем выборочное значение статистики H₀

F_в= = =368,94

Так как квантиль распределения Фишера F_1-(1,n-2)= F_0,9 (1,48)=2,84 , что меньше выборочного значения статистики F_в, то гипотеза H₀ отклоняется на уровне значимости = 0,1.

Список литературы

1.Вуколов В.А., Лесин В.В.Лабораторный практикум по математической статистике.-М.:Изд.МИЭТа,1986.

2.Ефимов А.В. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Теория вероятностей и математическая статистика. Часть 3.-М.:Наука,1990.

11