Параграф 5_Свойства равн_сх_фп и рядов

§ 5. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и функциональных рядов

1. Предельный переход в функциональных последовательностях и функциональных рядах. Непрерывность и равномерная сходимость.

Теорема 1. ( о предельном переходе в функциональных последовательностях).

Пусть f_n (x) : X ® R , , . E  множество сходимости функциональной последовательности N . E Ì X и пусть x_  E.

Если функциональная последовательность сходится равномерно к функции f(х) на множестве E при и существует для любого N, тогда существуют и .

. (1)

Следствие 1. Пусть при f_n (x) ⇉ f(х) на множестве E, содержащем точку x_ , и

функции f_n (x) , N, непрерывны в точке x_ , тогда предельная функция f(х) непрерывна в точке x_ .

Следствие 2. Пусть при f_n (x) ⇉ f(х) на множестве E и

функции f_n (x) , N, непрерывны на множестве E , тогда предельная функция f(х) непрерывна на множестве E .

Равномерная сходимость функциональной последовательности – достаточное условие непрерывности предельной функции . Непрерывность предельной функции необходимое условие равномерной сходимости функциональной последовательности.

Теорема 1′. ( о предельном переходе в функциональных рядах).

Если при ⇉ S(х) на множестве E, содержащем точку x_ , и

при любом N существует , тогда числовой ряд сходится и имеет место равенство

. (2)

В равномерно сходящемся ряде можно переходить к пределу. Предел суммы (бесконечной) равен сумме (бесконечной ) пределов.

Следствие 3. Пусть при ⇉ S (х) на множестве E и функции f_n (x) , N, непрерывны на множестве E , тогда функция S (х) непрерывна на множестве E .

Равномерная сходимость функционального ряда – достаточное условие непрерывности суммы функционального ряда . Непрерывность суммы функционального ряда необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда.

Теорема 2. ( теорема Ди′ни - достаточное условие равномерной сходимости функциональных последовательностей ) ( Улисс Дини (1845-1918) – итальянский математик) .

Если последовательность непрерывных функций f_n (x), заданных на отрезке [ a, b] , не убывает и сходится поточечно к непрерывной функции f(х), то функциональная последовательность сходится равномерно к функции f(х).

Теорема 2′. ( теорема Дини - достаточное условие равномерной сходимости функциональных рядов ) Если сумма ряда S (х) = с неотрицательными непрерывными функциями f_n (x) непрерывна на отрезке [ a, b] , то этот ряд сходится равномерно к функции S (х) на отрезке [ a, b].

2. Предельный переход под знаком интеграла. Почленное интегрирование функциональных последовательностей и функциональных рядов.

Теорема 3₁. (интегрирование функциональных последовательностей )

Если последовательность непрерывных функций f_n (x) сходится равномерно на отрезке [ a, b] к функции f(х) при , то функциональная последовательность интегралов сходится равномерно к при для любых x_ , x  [ a, b].

( ⇉ f(х) при на отрезке [ a, b] ) 

( ⇉ при для любых x_ , x  [ a, b] ), т.е.

, (3)

операции взятия предела и интеграла перестановочны.

Теорема 3₂. (интегрирование функциональных последовательностей )

Если последовательность функций f_n (x), интегрируемых по Риману на отрезке [ a, b], сходится равномерно на отрезке [ a, b] к функции f(х) при , то функциональная последовательность интегралов сходится равномерно к при на отрезке [ a, b] для любых x_ , x  [ a, b] и верно равенство

. (3)

Теорема 3₂′. (интегрирование функциональных рядов )

Сумма S (х) равномерно сходящегося на отрезке [ a, b] ряда , состоящего из интегрируемых по Риману на отрезке [ a, b] функций , интегрируема по Риману на отрезке [ a, b].

. (4)

Равномерно сходящиеся ряды можно почленно интегрировать.

Интеграл от суммы ( бесконечной) функций равен сумме (бесконечной) интегралов.

3. Предельный переход под знаком производной. Почленное дифференцирование функциональных последовательностей и функциональных рядов.

Теорема 4₁. (дифференцирование функциональных последовательностей )

Если последовательность непрерывно дифференцируемых функций f _n (x) сходится поточечно на отрезке [ a, b] к функции f (х) при , а последовательность производных f _{n ̉̍} (x) сходится на отрезке [ a, b] к функции φ (х) при , то функция f (х) дифференцируема на отрезке [ a, b] и

, (5)

т.е. допустим предельный переход под знаком производной.

Теорема 4₂. (дифференцирование функциональных последовательностей )

Если каждая из функций последовательности имеет производную на отрезке [ a, b] и сходится хотя бы в одной точке x_  [ a, b] к функции f(х) при , а функциональная последовательность производных сходится равномерно к φ (х) при на отрезке [ a, b] , то функция f (х) дифференцируема на отрезке [ a, b] и

. (5)