Лекция 15. Производная

Лекция 15. Производная.

15.1. Понятие производной.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Дадим аргументу некоторое приращение (положительное или отрицательное). Тогда функция получит приращение . Рассмотрим отношение .

Определение 15.1. Конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии называется производной функции в точке .

Этот предел обозначается символом :

. (15.1)

Наряду с обозначением производной в произвольной точке x употребляются и другие обозначения: , , .

Конкретные значения производной при обозначаются через , , .

Формулу (15.1) можно записать в виде

. (15.2)

 Пример 15.1.

. 

15.2. Геометрическая интерпретация производной.

Пусть на плоскости xOy задана кривая, описываемая уравнением . Проведём касательную к кривой в точке . Возьмём на кривой точку M₁ и проведём секущую M₀M₁ (рис. 15.1). При изменении точки M₁ положение секущей будет меняться.

Рис. 15.1.

Определение 15.2. Если при стремлении точки к фиксированной точке секущая не зависимо от способа стремления точки к точке стремится к одному и тому же предельному положению, то прямая, являющаяся этим предельным положением, называется касательной к кривой в точке .

Получим уравнение этой касательной. Обозначим координаты точки M₁ через и пусть – угол наклона секущей к оси Ox. Тогда (см. рис. 15.1) угловой коэффициент секущей M₀M₁ равен

. (15.3)

Если же устремить точку M₁ к точке M₀, то есть устремить к нулю, то в случае существования производной угол будет стремиться к некоторому пределу , где . Следовательно, прямая, составляющая с положительным направлением оси Ox угол и проходящая через точку M₀ и будет касательной. Её угловой коэффициент .

Запишем уравнение касательной к графику в точке :

. (15.4)

Определение 15.3. Прямая называется перпендикулярной к кривой в точке , если она перпендикулярна касательной к кривой в точке . Эта прямая называется также нормалью к этой кривой.

Угловой коэффициент нормали к кривой в точке M₀ при , и уравнение нормали к графику функции, проходящему через точку запишется в следующем виде:

. (15.5)

Если , то уравнение нормали .

☼ Замечание 15.1. Если в точке и , то касательная к кривой в точке существует, она вертикальна и её уравнение . Уравнение соответствующей нормали . ☼

15.3. Физический смысл производной.

1) Пусть задан закон движения точки . Средняя скорость движения . Мгновенная скорость движения .

Среднее ускорение движения . Мгновенное ускорение движения .

2) Сила тока в момент времени t: , где – количество электричества.

3) – количество вещества, вступающего в химическую реакцию за время t. Скорость химической реакции в момент времени t: .

4) – масса неоднородного стержня между точками и . Линейная плотность стержня в точке x есть .

5) Барометрическая формула (зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря).

– давление воздуха на высоте h – давление воздуха на высоте – плотность воздуха на высоте h ,

С учётом закона Менделеева-Клапейрона ( – количество вещества, m – масса воздуха, M – молярная масса воздуха, R – универсальная газовая постоянная), получаем . Обозначая , получаем далее:

, , .

Так как производные равны, то , где – давление воздуха на уровне моря. Окончательно, барометрическая формула выглядит как

.

15.4. Односторонние производные.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Определение 15.4. Если существует предел отношения при (то есть , ), то этот предел называется правой производной функции в точке и обозначается символом :

. (15.6)

Определение 15.5. Если существует предел отношения при (то есть , ), то этот предел называется левой производной функции в точке и обозначается символом :

. (15.7)

☼ Замечание 15.2. Для того чтобы существовала производная в точке , необходимо и достаточно, чтобы существовали левая и правая производные в этой точке и они были бы равны. ☼

15.5. Необходимое условие существования производной.

♦ Теорема 15.1. Если функция имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть существует производная в точке , то есть

.

Тогда по замечанию 12.3 , где . Следовательно, . Но тогда

.

Это означает, что функция непрерывна в точке . ■

☼ Замечание 15.3. Обратное утверждение не всегда верно, то есть не всякая непрерывная в точке функция имеет производную в этой точке. ☼

 Пример 15.2. Функция непрерывна в точке . Найдём

,

.

Таким образом, у функции в точке существуют односторонние производные, но они не равны и, следовательно, функция не имеет производной в точке . 

Если функция имеет производную в точке , то говорят, что дифференцируема в этой точке.

68