Лекция 16. Правила и формулы дифференцирования
.docЛекция 16. Правила и формулы дифференцирования.
16.1. Правила дифференцирования.
♦ Теорема 16.1.
Пусть
функции
и
имеют производные в точке
.
Тогда в этой точке имеют производные
их сумма, произведение и частное, причём:
а)
; б)
; в)
при
.
Доказательство.
а) Рассмотрим функцию
.
Её приращение
.
Следовательно,
отношение
примет вид
,
и
,
то есть
.
■
б) Обозначим
.
Тогда
Следовательно,
Здесь мы
воспользовались теоремой 15.1: если
функция
имеет в точке
производную, то она непрерывна в этой
точке, то есть
.
Таким образом,
.
■
в) Обозначим
.
Тогда
Таким образом,
.
Искомые пределы
,
,
,
поэтому
,
и окончательно
.
■
☼ Замечание 16.1.
Если
,
где C
– постоянная, то
:
.
Таким образом, постоянный множитель можно выносить за знак производной. ☼
16.2. Производные элементарных функций.
♦ Теорема 16.2.
1)
Производная
степенной функции
,
,
:
.
Доказательство.
Приращение степенной функции в точке
,
.
Следовательно,
для всех x,
при которых
определена. ■
♦ 2)
Производная
показательной функции
,
,
: 
,
в частности 
.
Доказательство.
.
.
■
♦ 3)
Производная
логарифмической функции
: 
или, более общо,
для функции
,
,
: 
.
Доказательство.
.
,
поэтому
.
■
♦ 4)
Производная
функции
: 
.
Доказательство для производной синуса проведено в примере 15.1. ■
♦ 5)
Производная
функции
: 
.
Доказательство.
.
■
♦ 6)
Производная
функции
,
,
: 
.
Доказательство.
.
■
♦ 7)
Производная
функции
,
,
: 
.
Доказательство.
.
■
♦ 8) Производные гиперболических функций:
, 
,
, 
.
Доказательство.
,
,
,
.
■
Пример 16.1.
Найти
,
.
найдём по теореме
16.1 как производную отношения двух
функций в точке
:
при 
,
откуда
.
найдём по определению
15.1:
.
16.3. Теорема о производной обратной функции.
♦ Теорема 16.3.
Пусть
функция
строго монотонна и непрерывна на
интервале
,
содержащем точку
.
Пусть в точке
она имеет конечную и отличную от нуля
производную
.
Тогда для обратной функции
в соответствующей точке
тоже существует производная, равная
.
Доказательство.
Придадим значению
произвольное приращение
.
Тогда функция
,
обратная к функции
,
получит приращение
.
При
ввиду строгой монотонности
и
.
Следовательно,
.
(16.1)
В силу непрерывности
функции
при
и
.
Но тогда знаменатель правой части (16.1)
стремится к пределу
.
Следовательно, существует предел и
левой части равенства (16.1). Получаем,
что
.
■
16.4. Производные обратных тригонометрических функций.
♦ Теорема 16.4.
1)
Производная
функции
,
:
.
Доказательство.
Функция
является обратной к функции
,
,
производная которой на указанном
интервале
.
Поэтому
.
■
♦ 2)
Производная
функции
,
:
.
Доказательство.
Функция
является обратной к функции
,
,
производная которой на указанном
интервале
.
Поэтому
.
■
♦ 3)
Производная
функции
,
:
.
Доказательство.
Функция
является обратной к функции
,
,
производная которой на указанном
интервале
.
Поэтому
.
■
♦ 4)
Производная
функции
,
:
.
Доказательство.
Функция
является обратной к функции
,
,
производная которой на указанном
интервале
.
Поэтому
.
■
16.5. Таблица производных.
|
№ |
|
|
№ |
|
|
|
1. |
|
0 |
10. |
|
|
|
2. |
|
|
11. |
|
|
|
3. |
|
|
12. |
|
|
|
4. |
|
|
13. |
|
|
|
5. |
|
|
14. |
|
|
|
6. |
|
|
15. |
|
|
|
7. |
|
|
16. |
|
|
|
8. |
|
|
17. |
|
|
|
9. |
|
|
18. |
|
|
16.6. Производная сложной функции.
♦ Теорема 16.5.
Если функция
дифференцируема в точке
,
а функция
дифференцируема в соответствующей
точке
,
то сложная функция
дифференцируема в точке
,
причём
.
(16.2)
Доказательство.
Дадим аргументу
приращение
.
Оно вызовет приращение функции
:
,
которое, в свою очередь, вызовет приращение
функции
:
.
Так как функция
дифференцируема в точке
,
то её приращение
представимо в виде:
,
(16.3)
где
– бесконечно малая функция при
.
Доопределим функцию
в точке
:
.
Тогда формула (16.3) будет верна для всех
из некоторой окрестности нуля.
С другой стороны,
функция
дифференцируема в точке
и, следовательно,
,
и при
(а вместе с
и
).
Таким образом,
Здесь
,
.
Следовательно,
функция
дифференцируема в точке
и её производная
.
■
Пример 16.2. Найти производные функций.
1)
;
.
2)
;
.