Лекция 22. Методы интегрирования
.docЛекция 22. Методы интегрирования.
22.1. Метод замены переменных.
Основную роль в интегральном исчислении играет метод замены переменной (или метод подстановки):
.
(22.1)
Предполагается,
что
есть непрерывно дифференцируемая
(имеющая непрерывную производную)
функция на некотором интервале изменения
t,
а
– непрерывная функция на соответствующем
интервале или отрезке оси x.
Докажем (22.1):
.
Следовательно,
если ввести подстановку
,
то получится первообразная от функции
.
Две первообразные отличаются на некоторую
постоянную C.
(22.1) доказана. ■
Формулу (22.1) перепишем в удобном виде:
.
(22.1а)
Пример 22.1.
1)
.
2)
.
3) а)
.
б)
.
в)
(доказательство формулы 8 таблицы интегралов лекции 21).
г)
(доказательство формулы 12 таблицы интегралов лекции 21).
4) а) При
.
б) При
,
,
.
в) При
,
,
.
(22.2)
г)
.
д) При
,
где последний интеграл вычисляется по (22.2).
Пример 22.2. Вычислить заменой переменных интегралы
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
,
7)
,
8)
,
9)
,
10)
,
11)
,
12)
,
13)
.
22.2. Метод интегрирования по частям.
♦ Теорема 22.1
(формула
интегрирования по частям).
Пусть
и
– непрерывно дифференцируемые функции.
Тогда
.
(22.3)
Доказательство.
Имеем
,
следовательно
и после интегрирования получаем:
.
Окончательно:
.
Постоянную C обычно опускают, так как в правой части формулы интегрирования по частям стоит неопределённый интеграл. ■
Интеграл
может оказаться более простым, чем
.
Большую часть интегралов, вычисляемых
методом интегрирования по частям, можно
разбить на 3 группы:
1)
,
,
,
,
,
где
– многочлен степени m.
При вычислении интегралов этой группы,
необходимо за
принять
(обратную тригонометрическую функцию
или логарифм) и положить
.
2)
,
,
,
где
– многочлен степени m.
При вычислении интегралов этой группы,
необходимо принять
,
.
Необходимо применить интегрирование
по частям m
раз.
3)
,
.
Здесь необходимо применить двукратное
интегрирование по частям, после чего
искомый интеграл выражается сам через
себя и находится из получающегося
линейного уравнения 1‑го порядка.
Пример 22.3.
1)
.
2)
.
3)
,
откуда
.
Пример 22.4. 1)
.
2)
,
– алгебраический многочлен. Применяем
n-кратное
интегрирование по частям. Так как
характер первообразной легко угадывается,
то эти интегралы можно вычислять методом
неопределённых коэффициентов.
Например, для
первообразная имеет вид:
,
где 
.
Коэффициенты находим из условия
.
3)
;
,
,
.
Пример 22.5. 1)
.
Здесь можно было
поступить наоборот и принять
.
Далее имеем:
,
,
,
.
2) Тем же самым способом можно получить, что
,
а можно найти
по связи с
.
22.3. Некоторые рекуррентные1 формулы.
1)
Метод интегрирования по частям для
интеграла
,
,
приводит к рекуррентному выражению
,
где
,
и окончательно:
,
.
Используя это выражение, можем понизить индекс на единицу, двойку и т.д., что приводит к цепочке формул:
,
,
,
приводящей к
.
Пример 22.6.
1)
.
2)
Рассмотрим также интеграл
:
,
то есть
.
Применяя тот же
процесс, приводящий к понижению на
единицу показателя степени в знаменателе
подынтегральной дроби, придём к
.
Таким образом, при
и
интеграл
берётся в элементарных функциях.
1 От лат. recurrens – возвращающийся.