Классическая статистика ч2 - Сотский А.Б

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования «МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. А.А. КУЛЕШОВА»

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ТЕРМОДИНАМИКЕ И СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

В трех частях

Часть 2

КЛАССИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Для студентов физико-математических факультетов

Могилев 2008

1

УДК 536.7(075.8) ББК 22.317я73

Печатается по решению редакционно-издательского совета МГУ им. А.А. Кулешова

Автор:

А.Б. Сотский

Рецензенты

доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой физики ГУВПО «Белорусско-Российский университет»

А.В. Хомченко,

кандидат физико-математических наук, профессор кафедры ФТД УО «МГУ им. А.А.Кулешова»

Е.Е. Сенько

Лекции по термодинамике и статистической физике. В 3 частях. Часть 2. Классическая статистика / Автор: А.Б. Сотский. – Могилев: МГУ им. А.А. Кулешова, 2008. - с.: ил.

Курс лекций предназначен для студентов всех специальностей физико-математических факультетов университетов и соответствует действующим учебным программам.

УДК 536.7(075.8) ББК 22.317я73

2

Глава 3. КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА

§23. Фазовое пространство

Вклассической статистике в качестве микроскопической модели тела рассматривается система материальных точек. Цель этой науки состоит в создании механической теории тепла, в которой тепловая форма движения получается из механики.

Впринципе, поведение механической системы во времени можно описать микроскопически. Для этого достаточно проинтегрировать уравнения Гамильтона

Гамильтона (гамильтониан) системы.

Однако построение механики систем путем интегрирования задачи Коши (23.1), (23.2) становится практически не осуществимым при рассмотрении макроскопических тел. Например, в одном кубическом

сантиметре газа при нормальных условиях содержится около 2.7 ×1019 молекул (число Лошмидта). При размерности системы (23.1) порядка

2 ×1020 ее интегрирование технически невозможно. Но именно большое число частиц в системе приводит к качественно новым закономерностям, которые можно описать на языке теории вероятностей.

При таком описании необходимо учесть, что в макроскопических экспериментах измеряются не координаты и импульсы всех частиц системы, а ограниченное число макроскопических параметров. Такие измерения осуществляются не мгновенно, а занимают конечный промежуток времени. Поэтому принимается следующая гипотеза: результатом измерения любого макроскопического параметра F является его среднее по времени значение F . Математически это усреднение представляется в форме

t

F (t) = 1 ∫ F ( X (t′)) dt′ , (23.3)

τ t −τ

где t − момент наблюдения, τ − время регистрации, F ( X (t)) − мгновенное

значение параметра F как функции всех канонических переменных, символ X (t) обозначает 6N − мерный вектор, составленный из

канонических переменных:

3

X (t) = (q1(1) (t), q2(1) (t), q3(1) (t),..., q1( N ) (t), q2( N ) (t), q3( N ) (t),

(23.4)

p1(1) (t), p2(1) (t), p3(1) (t),..., p1( N ) (t), p2( N ) (t), p3( N ) (t)),

где верхний индекс указывает номер частицы, нижний - номер

системы о ее предыстории. Это стирание происходит за счет многочисленных соударений частиц между собой и границами системы.

измерение к конкретному моменту времени t . Для равновесных систем, свойства которых неизменны во времени, T → ∞ . Тогда в (23.3) следует положить τ → ∞ .

С точки зрения теоретических исследований операция усреднения (23.3) крайне не удобна. Она предполагает вычисление координат и импульсов всех частиц системы в каждый момент времени, что не осуществимо практически. Поэтому для нахождения средних значений макроскопических параметров в статистической физике используется иной подход. В нем временное усреднение заменяется усреднением по фазовому

Γ − пространстве изображает состояние всей макроскопической системы в данный момент времени. Вектор (23.4) размерности 6N называется изображающим вектором системы, а его конец ассоциируется с изображающей точкой.

Если проследить за поведением изображающей точки за промежуток времени τ , удовлетворяющий условию (23.5), то мы увидим весьма сложную траекторию ее движения. В одних областях Γ − пространства изображающая точка побывает чаще, в других – реже. Переход к ансамблю систем в Γ − пространстве достигается тогда, когда каждой точке указанной траектории сопоставляется своя макроскопическая система, причем все эти системы берутся в один и тот же момент времени t . По определению, фазовым ансамблем называется совокупность бесконечного

4

числа одинаковых физических систем, находящихся в одинаковых условиях и рассматриваемых в один и тот же момент времени.

Введем в рассмотрение случайный изображающий вектор X , который характеризует состояние системы. Будем считать, что этот вектор с равной вероятностью может совпасть с изображающим вектором любой из систем ансамбля. Однако поскольку фазовое пространство покрыто изображающими точками ансамбля с не постоянной плотностью, вероятность того события, что конец вектора X при некотором испытании попадет в объем dX = dX1 dX1...dX 6 N Γ − пространства будет зависеть от

местоположения этого объема.

Здесь w( X ,t) − так называемая фазовая плотность вероятности, пропорциональная числу систем ансамбля, оказавшихся в объеме d X , окружающем конец вектора X . Интуитивно понятно, что

где интегрирование осуществляется по всему Γ − пространству. Выражение (23.9) представляет собой формулировку так называемой

эргодической гипотезы. Она звучит так: средние по времени макроскопические параметры системы равны их средним статистическим значениям по ансамблю систем, макроскопически тождественных данной системе в данный момент времени.

Выше мы рассмотрели ансамбль систем, взятый в фиксированный момент времени (для определенности t = 0 ). Но ничто не запрещает проследить за эволюцией данного ансамбля. В этом случае изображающий вектор каждой из систем ансамбля будет описываться уравнениями (23.1) при различных начальных условиях (23.2). Интегрируя эти уравнения, теоретически можно построить функцию w( X ,t) по заданной функции

w( X ,0) . Но для равновесных систем, свойства которых неизменны во

5

Для практического использования выражения (23.10) необходимо конкретизировать функцию w( X ) . В статистической физике она строится

из общих соображений, не связанных с прямым интегрированием уравнений (23.1). Для соответствующего рассмотрения понадобятся некоторые сведения из теории вероятностей.

§24. Элементы теории вероятностей

Встатистической физике широко применяется теорема сложения вероятностей. Она звучит так: если имеются два случайных не совместимых события A и B (эти события не могут произойти оба вместе), то вероятность того, что произойдет событие A либо B равна сумме вероятностей данных событий, то есть

Из (24.1) легко получить условие нормировки для плотности вероятности w( X ) . Действительно, с одной стороны, вероятность того, что

конец изображающего вектора X окажется в любой точке фазового пространства равна сумме элементарных вероятностей w( X )dX , или

интегралу ∫( X ) w( X )dX . С другой стороны, вероятность данного

достоверного события равна единице. Следовательно, условие нормировки для плотности вероятности имеет вид

нахождения конца 3N − мерного вектора импульсов частиц в элементе объема dx при любых пространственных положениях частиц.

6

Второе следствие относится к статистике термодинамических параметров. Будем считать, что термодинамический параметр F является некоторой функцией случайного фазового вектора X : F = F ( X ) .

Очевидно, что F также является случайной величиной, поэтому вероятность того, что F находится в интервале F , F + dF , равна ρ(F )dF ,

где ρ(F ) - плотность вероятности F . С другой стороны, значение F будет достигнуто, если фазовый вектор X будет удовлетворять уравнению

бесчисленное множество решений. Чтобы найти вероятность реализации

Здесь δ (...) - дельта-функция Дирака. Эта функция равна нулю, если ее

аргумент отличен от нуля. Тем самым в интеграле (24.4) учитываются вероятности лишь тех X , при которых выполняется уравнение (24.3). Согласно (24.4), плотность вероятности случайной величины F равна

( X )

В статистической физике важную роль играет также теорема умножения вероятностей. Пусть имеются два случайных события A и B , причем наступление этих событий не зависит одно от другого. В этом случае говорят, что случайные события независимы. Для таких событий теорема умножения вероятностей гласит, что вероятность того, что произойдут оба события A и B равна произведению вероятностей этих событий:

p( A × B) = p( A) p(B) .

Пусть макроскопическая система состоит из двух подсистем. Предположим, что известна вероятность w1 ( X1 )d X1 того, что конец

изображающего вектора первой подсистемы располагается в элементе фазового объема d X1 и аналогичная вероятность w2 ( X 2 )d X 2 для второй

подсистемы. Если подсистемы независимы, то есть не взаимодействуют друг с другом, то по теореме умножения вероятность сложного события есть

где d X = d X1 d X 2 . Слева в (24.6) стоит совместная плотность вероятности величин X1 и X 2 . Отсюда для независимых подсистем w( X1, X 2 ) = w1 ( X1 )w2 ( X 2 ) .

7

Если интересоваться вероятностью dW ( X1 ) того, что конец вектора X1 находится в фазовом объеме d X1 при любых реализациях вектора X 2 , то по теореме сложения вероятностей

dW ( X1 ) = w1 ( X1 )dX1 ∫ w2 ( X 2 )dX 2 = w1 ( X1 )dX1 ,

( X 2 )

где учтено условие нормировки плотности вероятности w2 ( X 2 ) .

Рассмотрим вычисление средних значений случайных величин. Среднее значение макроскопического параметра F , по определению, есть интеграл

( F )

Это же значение может быть рассчитано усреднением по ансамблю:

( X )

Нетрудно видеть, что выражения (24.7) и (24.8) тождественны одно другому. Действительно, подставляя (24.5) в (24.7) и пользуясь известными свойствами дельта-функции, получим

F = ∫ dF F ∫ w( X )δ (F − F ( X ))dX = ∫ d X w( X ) ∫ Fδ (F − F ( X ))dF =

( F ) ( X ) ( X ) ( F )

= ∫ w( X )F ( X ) d X .

( X )

Отметим также свойство

F1 + F2 = ∫ (F1 ( X ) +F2 ( X )) w( X ) dX =

( X )

= ∫ F1 ( X ) w( X ) dX + ∫ F2 ( X ) w( X ) dX = F1 + F2 .

( X ) ( X )

Оно очевидным образом обобщается на случай произвольного числа слагаемых:

∑ Fk = ∑ Fk .

kk

Встатистической физике при оценке флуктуаций параметров

используется дисперсия случайной величины F :

8

макроскопических параметров убывают при увеличении размеров рассматриваемой системы.

Рассмотрим некоторый аддитивный параметр F , который

Пусть подсистемы взаимодействуют между собой пренебрежимо слабо.

Выражение (24.11) является прямым следствием (24.6) и (24.8). Таким образом,

Равенство (24.14) означает, что дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых.

Предположим, что дисперсии D(Fk ) ограничены сверху: D(Fk ) ≤ Dmax , а

9

Выражение (24.15) называют теоремой об относительной флуктуации аддитивной случайной величины (среднеквадратичное смещение случайной величины часто называют ее флуктуацией). Из (24.15) следует, что модуль относительной флуктуации аддитивного случайного параметра обратно пропорционален корню квадратному из числа подсистем, на которые может быть разбита система. Число n имеет порядок числа

частиц в системе, то есть n ~ 1010 , если рассматривается макроскопическая система. Это означает, что термодинамические параметры макроскопических систем практически детерминированы.

§ 25. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема

Как было установлено в предыдущих двух параграфах, ключевую роль в статистической физике играет нахождение плотности вероятности

рассчитать значение любого термодинамического параметра, используя операцию усреднения этого параметра по ансамблю. Уже отмечалось, плотность вероятности w( X ) должна строиться из некоторых общих

соображений. Основание для такого построения дает теорема Лиувилля о сохранении фазового объема.

Рассмотрим движение ансамбля точек, изображающих возможные состояния механической системы. Обозначим фазовые векторы в моменты

времени 0 и t через X (0) и X (t ) , соответственно. Будем полагать, что система является замкнутой, т. е. что ее полная энергия фиксирована. Как известно из механики, в этом случае

переменных, которые подчиняются уравнению Гамильтона (23.1). Для любых механических систем эти уравнения удовлетворяют условиям теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши (23.1), (23.2). Это означает, что существует взаимно-однозначное соответствие

векторов X (0) и X (t ) . То есть,

Поскольку изображающие точки ансамбля плотно покрывают фазовое пространство, выражение (25.2) можно рассматривать как преобразование координат в 6N − мерном пространстве, причем якобиан

10