Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Могилёвский государственный университет им. А. А. Кулешова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Квантовая статистика ч3 - Сотский А.Б

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

933.9 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

где	= gradϕ ,
u p	= gradϕ ,	(57.7)
us	= rot A ,	(57.8)

ϕ(t, x, y, z) и A(t, x, y, z) - так называемые скалярный и векторный потен-

циалы.

Подставив (57.6) в (57.5), получаем

ρ(uɺɺp + uɺɺs ) = (M + Λ)grad (div u p ) + M (u p + us ) ,

(57.9)

где точки означают дифференцирование по времени.

Применим к обеим частям уравнения (57.9) операцию div . Поскольку

div grad = , div us = 0 , а операторы div и				перестановочны, приходим к
уравнению
div ρuɺɺ	p	− (2M + Λ)	u		= 0 .	(57.10)
	p			p

Обозначим векторное поле, стоящее в квадратных скобках в (57.10), через U . Согласно (57.7), это поле является безвихревым, так что rotU = 0 . Из векторного анализа известно, что векторное поле с нулевыми ротором и дивиргенцией не может зависеть от координат. В дальнейшем нас будут интересовать акустические поля, обращающиеся в нуль на границах некоторой области. В таком случае U ≡ 0 , и (57.10) эквивалентно уравнению

uɺɺ	p	− c2	u	p	= 0 ,	(57.11)
	p	p		p

где cp = (2M + Λ) / ρ . Поля, подчиняющиеся уравнению (57.11), называ-

ются волнами сжатия, поскольку, как известно из теории упругости, div u = div u p равна относительному изменению бесконечно малого эле-

мента объема среды, окружающего данную пространственную точку. Константа cp имеет смысл скорости распространения данных волн.

Из (57.7) видно, что для обращения уравнения (57.11) в тождество, в качестве ϕ достаточно взять любую скалярную функцию, удовлетворяющую уравнению

ϕɺɺ− c2	Δϕ = 0 .	(57.12)
p

Граничные условия для ϕ должны выбираться в соответствии с граничными условиями для u p . Согласно постулату, введенному в §2, термоди-

намические свойства макроскопического тела определяются только его объемом и температурой термостата независимо от природы термостата и формы границ тела. Поэтому с целью получения простых расчетных соотношений в дальнейшем будем полагать, что твердое тело имеет форму куба с ребром L . Далее, учтем, что в распределение Гиббса (27.19) входит гамильтониан замкнутой системы, записанный без учета обмена энергией системы с окружающей средой (за этот обмен в указанном распределении отвечает статистическая температура θ ). Именно этот гамильтониан нас сейчас и интересует. Для его построения необходимо потребовать, чтобы

акустические волны не выходили за пределы тела. Это достижимо за счет выбора надлежащих граничных условий для указанных волн. Физически такого рода условия можно обеспечить, предположив, что твердое тело находится в контакте с гипотетической не деформируемой средой. В таком случае граничным условием для рассматриваемых волн сжатия будет

div u p = Δϕ = 0 ,

(57.13)

где div us и Δϕ вычисляются на гранях куба.

Решение уравнения (57.12) при условиях (57.13) может быть представлено в виде ряда Фурье


∞ ∞ ∞	iπ x			jπ y		lπ z
ϕ(t, x.y, z) = ∑∑∑aijl	(t)sin		sin		sin			,	(57.14)

i=1 j=1 l =1		L		L			L

где начало отсчета декартовой системы координат совмещено с одной из вершин названного выше куба. В соответствии с (57.12), функции aijl (t)

подчиняются обыкновенным дифференциальным уравнениям

aɺɺijl

+ (ωijl( p) )2

aijl

= 0 ,

где

( p)

π 2

(ωijl

)

= cp

+ j

+ l

) .

Применим теперь к обеим частям уравнения (57.9) скольку rot u p = 0 , приходим к уравнению

ɺɺ	− M	us ] = 0 .
rot [ρus

(57.15)

операцию rot . По-

(57.16)

Согласно (57.8), дивиргенция векторного поля, стоящего в квадратных скобках в (57.16), равна нулю, поэтому аналогично (57.11) получаем:

uɺɺ	s	− c2	u	s	= 0 ,	(57.17)
	s	s		s

где cs = M / ρ . Акустические волны, описываемые уравнением (57.17),

называются волнами кручения. Скорость распространения этих волн равна cs .

В соответствии с выбранной моделью окружающей среды условия (57.13) должны быть дополнены требованием

uτ = 0 ,	(57.18)
где uτ - тангенциальная составляющая вектора u	на гранях куба. Из

(57.7), (57.14) и (57.18) заключаем, что уравнение (57.17) должно решаться с граничным условием

(us )τ = 0 .

(57.19)

Решение задачи (57.17), (57.19) для компонент вектора us , совместимое с вытекающим из (57.8) условием divus = 0 , может быть представлено в форме рядов Фурье:

usx

usy

usz

∞∞ ∞

=∑∑∑bijl( x) i=0 j=1 l =1

∞∞ ∞

=∑∑∑bijl( y ) i=1 j=0 l =1

∞∞ ∞

=∑∑∑bijl( z ) i=1 j=1 l =0

iπx

jπy

lπz

(t) cos

sin

iπx

jπy

lπz

(t)sin

cos

sin

(57.20)

iπx

jπy

lπz

(t)sin

sin

cos

Подстановка (57.20) в (57.17) приводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям

bɺɺijl( x, y ,z )

+ (ωijl( s) )2

bijl( x, y,z )

= 0 ,

где

(ωijl( s ) )2

= cs2 (π / L)2 (i2 + j2 + l2 ) .

(57.21)

Как известно из акустики, гамильтониан сплошной среды, запол-

няющей куб с ребром L , имеет вид1

+ Λ)(div u)

+ M ∑( grad ui

)

H =

∫ dx∫dy∫dz

ρu

(57.22)

где i

пробегает значения x, y, z .

Упростим выражение (57.22) с учетом представлений (57.6), (57.14) и

(57.20).

Рассмотрим интеграл

L dx L dy L dz ρuɺ

= ρ L dx L dy L dz (uɺ

+ uɺ

)2 = ρ L dx L dy L dz (uɺ2 + uɺ2 + 2uɺ uɺ ) .

∫ ∫ ∫

2 ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

p s

Здесь

∂ϕɺ

∫dx∫dy∫ dz uɺpuɺs

= ∫dx∫dy∫dz

(rotA)x +

∂ y

(rotA) y

∂ z

(rotA)z .

∂ x

Интегрирование по частям в последнем выражении дает:

∂ϕɺ

∂

∫dy∫ dz∫dx

(rotA)x

∂ x

= ∫dy∫ dz ϕ(rotA)x

− ∫dy∫dz∫dx ϕ

∂ x

x=0 0

В силу (57.14) ϕɺ

x=0 = ϕɺ

x=L

= 0 , поэтому

L	L	L	∂ϕɺ	ɺ
∫dy∫ dz∫dx			∂ x	(rotA)x
0	0	0

Аналогично

L L L	∂	ɺ
L L L

= −∫dy∫dz∫dx ϕɺ ∂ x (rotA)x

0 0 0

1 Методика построеня подобных гамильтонианов описана, например, в монографии: Богуш А.А., Мороз Л.Г. Введение в теорию классических полей. Минск: Наука и техника, 1968.

∫dy∫ dz∫dx ∂ϕɺ
L	L	L
0	0	0	∂y

∫dy∫ dz∫dx ∂ϕɺ
L	L	L
0	0	0	∂z

ɺ	L	L	L	∂	ɺ
(rotA) y	= −∫ dy∫dz∫ dx ϕɺ				(rotA) y ,
				∂y
	0	0	0
ɺ				∂	ɺ
	L	L	L
(rotA)z	= −∫dy∫dz∫dx ϕɺ				(rotA)z .
				∂z
	0	0	0

Таким образом,

∫dx∫dy∫ dz uɺpuɺs = ∫ dx∫ dy∫dz ϕɺ div rot A = 0 ,

так как div rotA ≡ 0 . Следовательно,

L dx L dy L dz ρuɺ2

= ρ L dx L dy L dz (uɺ2

+ uɺ2 ) .

∫

Теперь рассмотрим входящий в (57.22) интеграл

∂u

∫dx∫dy∫ dz∑( grad ui )

= ∫dx∫dy∫dz∑

∂z

0 i

∂x

∂y

(57.23)

. (57.24)

Первое из девяти слагаемых, которыми представляется интеграл в правой части выражения (57.24), может быть преобразовано следующим образом:

∂(u

+ u )

∂(u + u )

∫dx∫dy∫ dz

∫dy∫dz (u px

+ usx )

−

∂ x

x=0

∂2 (upx + usx )

∂2u

−

∫dx∫dy∫dz (u px + usx )

= −

∫ dx∫ dy∫dz ux

∂ x2

где выполнено интегрирование по частям и учтено, что в соответствии с

(57.7), (57.14) и (57.20)

	∂(u	px	+ u	sx	)	L
	∂(u		+ u		)	L
(u px + usx )						= 0 .
(u px + usx )		∂ x				= 0 .
		∂ x				x=0
						x=0

Преобразовав аналогичным образом оставшиеся слагаемые, приходим к формуле

	1	L		L	L		1	L	L	L
	1	∫dx∫dy∫ dz∑( grad ui )2 = −					1	∫ dx∫ dy∫ dz u u =
	2	∫dx∫dy∫ dz∑( grad ui )2 = −					2	∫ dx∫ dy∫ dz u u =
		0		0	0	i		0	0	0	(57.25)
			1	L dx L dy L dz (u p u p + us u p + u p us + us us ).							(57.25)
= −			1
= −
		2		∫	∫	∫
				0	0	0

Здесь

∫dx∫dy∫ dz us u p =

∫ dx∫ dy∫dz us gradϕ=ɺɺ

(57.26)

−

∫dx∫dy∫dz ϕɺɺdiv us

= 0,

p 0

∫dx∫dy∫ dz u p us

= ∫dx∫dy∫dz gradϕΔ us

= −∫dx∫dy∫dz ϕΔ div us = 0 . (57.27)

При получении (57.26) и (57.27) выполнено интегрирование по частям, уч-

тены выражения (57.7), (57.8), (57.12), а также то, что в силу (57.14) ϕ ≡ 0

на границах куба.

Итак, в соответствии с (57.22), (57.23), (57.25) – (57.27) гамильтониан рассматриваемого твердого тела равен

H = H p + Hs ,

(57.28)

где через

L dx L dy L dz ρ(uɺ

+ (M + Λ)(div u

− M u

(57.29)

∫ ∫ ∫

L dx L dy L dz ρ(uɺ

− M u

(57.30)

∫

обозначены вклады в гамильтониан безвихревого и соленоидального акустических полей, соответственно.

Подставим в (57.29) выражение (57.7):

∫dx∫dy∫ dz (uɺp )2 =∫dx∫dy∫dz gradϕɺ																	gradϕɺ =∫dy∫dz ϕɺ ∂ϕɺ						L
∫dx∫dy∫ dz (uɺp )2 =∫dx∫dy∫dz gradϕɺ																	gradϕɺ =∫dy∫dz ϕɺ ∂ϕɺ						L
L	L		L						L	L	L								L	L
0	0		0					0		0	0				L				0	0		∂ x	x=0
0	0		0					0		0	0								0	0		∂ x	x=0
−∫dx∫dy∫dz ϕɺ						∂	ϕɺ2 +			∫dx	∫dz ϕɺ ∂ϕɺ						− ∫dx∫dy∫dz ϕɺ				∂	ϕɺ2 +
−∫dx∫dy∫dz ϕɺ						∂	ϕɺ2 +			∫dx	∫dz ϕɺ ∂ϕɺ						− ∫dx∫dy∫dz ϕɺ				∂	ϕɺ2 +
	L	L	L		2					L	L						L	L	L		2
												∂ y			y=0
	0	0	0			∂ x				0	0						0	0	0		∂ y
	0	0	0			L				0	0						0	0	0
+∫dx∫dy ϕɺ				∂ϕɺ				− ∫dx∫dy∫ dz ϕɺ ∂								ϕɺ2	= − ∫ dx∫ dy∫dz ϕΔϕɺ ɺ,
+∫dx∫dy ϕɺ				∂ϕɺ				− ∫dx∫dy∫ dz ϕɺ ∂								ϕɺ2	= − ∫ dx∫ dy∫dz ϕΔϕɺ ɺ,
	L	L							L	L	L			2				L	L	L
				∂ z
	0	0				z=0		0		0	0		∂ z					0	0	0
	0	0				z=0		0		0	0							0	0	0

где выполнено интегрирование по частям и учтено, что ϕ = 0 на границах тела. Аналогично

L	L	L		L	L	L		L	L	L
∫dx∫dy∫ dz u p				u p =∫ dx∫ dy∫dz gradϕΔgradϕ =∫ dx∫ dy∫dz gradϕ grad Δϕ =
0	0	0		0	0	0		0	0	0
	L	L	L			L	L	L
= −∫dx∫dy∫ dz Δϕdiv gradϕ = − ∫dx∫dy∫dz (Δϕ)2 ,
	0	0	0			0	0	0

поскольку на границах тела Δϕ = 0 (см. (57.14)). Таким образом,

(2M + Λ)(

ϕ)

H p =

∫

−ρϕΔ ϕ+

(57.31)

2 0

Учитывая (57.14), запишем (57.31) в виде

∞

∞ ∞

∞

H p

∑∑∑∑∑∑(i¢2 + j¢2 + l¢2 ) p2

2 i=1 j=1 l =1 i′=1 j′=1 l′=1

ɺ ɺ

(2M + L)p2

pi x

pi¢x

+ j

+ l

)aijl ai′j′l′ ∫sin

sin

dx ´

´ raijl ai′j′l′

p j y

p j¢y

pl z

pl¢z

∫sin

´∫sin

sin

dz.

Приняв здесь во внимания известные соотношения ортогональности для тригонометрических функций

pi t

pi¢t

∫sin

sin

d t =

dii′ ,

i¢

ii′

(i ¹ 0),

∫cos

cos

d t = 2

L dii′ (i = 0),

где δii′ - символ Кронекера, получаем

1 ∞ ∞ ∞

H p = ∑∑∑ (Pijl )2 + (wijl( p) )2 (Qijl )2 , 2 i=1 j=1 l =1

(57.32)

(57.33)

(57.34)

где

P = Aɺ	ijl	,	Q = A	ijl	,	A	ijl	= a	p2 (i2 + j2 + l2 )Lr ,
ijl	ijl		ijl	ijl			ijl	ijl	8
									8

причем переменные aijl , а значит и Aijl , относящиеся к различным комбинациям номеров i, j,l , никак не связаны между собой.

Сравнивая выражение (57.34) с (35.8), заключаем, что вклад в гамильтониан твердого тела безвихревых акустических колебаний равен гамильтониану системы независимых гармонических осцилляторов с собст-

венными частотами wijl( p ) .

Исследуем теперь часть Hs гамильтониана (57.28). Подставляя в (57.30) выражения (57.20) для компонент вектора us и используя соотношения ортогональности (57.32), (57.33), приходим к выражению

			1	∞	∞
Hs		=		∑∑ (Bɺ0(

		2		j=1 l =1
	1	∞		∞
+		∑∑ (Bɺi(0yl) )2

	2 i=1			l =1
	1	∞		∞
+		∑∑ (Bɺij( z0) )2

	2 i=1			j=1
	1			∞	∞ ∞
+		∑∑∑∑ (

2		a		i=1 j=1 l =1

где a пробегает значения x, y, z ,

xjl) )2 + (ω(0sjl) )2 (B0( xjl) )2

+(ωi(0sl) )2 (Bi(0yl) )2 +

+(ωij( s0) )2 (Bij( z0) )2 +

Bɺijl(a ) )2 + (ωijl( s) )2 (Bijl(a )

(57.35)

)2 ,

B( x) =

b0( xjl)

ρL3

B( y ) =

b( y )

ρL3

, B( z ) =

bij( z0)

ρL3

, B(a) = b(a )

ρL3

i 0l

0 jl

i 0l

ij 0

ijl

Выясним, какие из величин Bijl( x, y ,z ) в (57.35) могут рассматриваться как независимые. Единственное условие, связывающее данные величины,

есть div us

= 0 . В силу (57.20) это условие может быть записано в виде

∞

∞ ∞

iπx

jπy

lπz

( x )

( y )

( z )

∑∑∑(ibijl

+ jbijl

+ lbijl

)sin

sin

= 0 . (57.36)

i=0 j=0 l =0

Очевидно, что если хотя бы один из индексов суммирования в (57.36) равен нулю, то соответствующее слагаемое из суммы выпадает. Это означа-

ет, что B( x) , B( y ) и B( z ) в (57.35) являются независимыми переменными.
0 jl i0l	ij 0
Умножим теперь обе части уравнения (57.36) на функцию
	iπx			jπy		lπz
	sin		sin		sin			,

		L		L			L

где i ³1, j ³1, l ³1 и проинтегрируем результат по объему куба. Учитывая соотношения ортогональности (57.32), получаем

b( z ) = − i b( x) − j b( y ) .
ijl	l ijl	l ijl

Отсюда следует, что величины	B( z ) , фигурирующие в четырехкратной
			ijl
сумме в (57.35), являются линейными функциями B( x) и B( y ) :
					ijl	ijl
B( z ) = −		i	B( x ) −	j	B( y ) .
B( z ) = −			B( x ) −		B( y ) .
ijl		l	ijl	l	ijl
		l		l

В результате

∞

(ωijl( s) )2 (Bijl(a) )2

∑∑∑∑ (Bɺijl(a ) )2 +

i=1 j=1 l =1

∞

= ∑∑∑

(Bɺijl( x) )

+ (ωijl( s ) )

(Bijl( x) )

1 +

i=1 j=1 l =1

(57.37)

(Bɺijl( y ) )

+ (ωijl( s) )

(Bijl( y ) )

( y )

2ij ( x )

( y )

( s)

( x )

Bɺijl Bɺijl

+ (ωijl

)

Bijl Bijl

Перейдя в (57.37)

от

B( x) ,

B( y ) к новым независимым переменным Q(1) ,

ijl

Q(2)

по правилу

ijl

Qijl(1) =

+ l 2 + ijq

(qBijl( x)

+ Bijl( y ) ),

Qijl(2)

= −

+ l 2 − ijq

(qBijl( x ) − Bijl( y ) ),

где

q =

i2 + l2

j2 + l 2

получаем

∞ ∞ ∞

+ (ωijl( s ) )2 (Bijl(a) )2

∞

+ (ωijl( s) )2 (Qijl(n) )2

∑∑∑∑ (Bɺijl(a ) )2

= ∑∑∑∑ (Qɺijl(n) )2

i=1 j=1 l =1

n=1 i=1 j=1 l =1

Таким образом, вклад в гамильтониан твердого тела волн кручения

представим в форме

= H ( x)

+ H

+ H ( z )

+ H (1)

+ H

( y )

(2)

(57.38)

где

∞

Hs( x ) =

∑∑ (P0(jlx) )2

+ (

ω0( sjl) )2 (Q0( xjl) )2

(57.39)

j=1

l =1

∞

Hs( y ) =

∑∑ (Pi 0( yl ) )2

+ (

ωi(0sl) )2 (Qi(0yl) )2

(57.40)

2 i=1

l =1

∞

Hs( z ) =

∑∑ (Pij(0z ) )2

+ (

ωij( s0) )2 (Qij( z0) )2

(57.41)

2 i=1

j=1

∞

Hs(1),(2)

∑∑∑ (Pijl(1),(2) )2

+ (ωijl( s) )2 (Qijl(1),(2) )2

(57.42)

2 i=1 j=1 l =1

P( x)

= Qɺ( x)

Q( x )

= B( x) ,

P( y ) = Qɺ( y ) ,

Q( y )

= B( y ) ,

0 jl

i 0l

i0l

i 0l

P( z ) = Qɺ( z ) ,

Q( z )

= B( z )

P(1)

= Qɺ(1) ,

P(2) = Qɺ(2) .

ij 0

i 0l

ijl

Иными словами, величина Hs равна сумме гамильтонианов независимых гармонических осцилляторов с собственными частотами ωijl( s ) .

Итак, мы установили, что в рамках акустической модели Дебая гамильтониан твердого тела представим в виде суммы гамильтонианов независимых гармонических осцилляторов, собственные частоты которых даются аналитическими выражениями (57.15) и (57.21). Нетрудно видеть, что уравнения Гамильтона (23.1) относительно канонических переменных гамильтонианов (57.34) и (57.38) описывают незатухающие гармонические колебания. Это означает, что рассматриваемая система замкнута. Данный результат подтверждает корректность выбора граничных условий

(57.13) и (57.19).

Следует, однако, отметить, что построения гамильтониана (57.28) еще не достаточно для расчета теплоемкости твердого тела. Дело в том, что ряды (57.34) и (57.38) содержат бесконечное число гамильтонианов гармонических осцилляторов. При достаточно высокой температуре средняя энергия каждого из таких осцилляторов равна классическому значению kT . Поэтому высокотемпературное значение теплоемкости CV будет

бесконечным, то есть не совпадет с классическим пределом 3Nk , где N - число ионов в твердом теле.

Дебай, чтобы обойти эту трудность, учел, что общее число слагаемых в рядах в (57.34) и (57.38) должно быть ограничено указанным в начале параграфа значением 3N . Формально это означает, что некоторые из функций

A	(t) , Q( x ) (t) , Q( y ) (t) , Q( z ) (t) , Q(1),(2)				(t)	(57.43)
ijl	0 jl	i 0l	i 0l	ijl

в этих рядах принимают нулевые значения, что равноценно тому, что часть амплитуд aijl (t) и bijl( x),( y ),( z ) (t) в общих решениях (57.14) и (57.20)

равны нулю. Для выбора ненулевых функций из набора (57.43) Дебай использовал тот известный факт, что модель сплошной среды при описании акустических колебаний твердого тела, состоящего из дискретных атомов, тем эффективнее, чем ниже частота этих колебаний. Отсюда он заключил, что рассчитывать на успех развиваемой теории можно только при усло-

вии, что частоты ωijl( p ) и ωijl( s ) , соответствующие ненулевым функциям

(57.43), будут минимально отклоняться от нуля. Для указанных частот Дебай ввел ограничение

ωijl( p ) ≤ ω0 , ωijl( s) ≤ ω0 ,

(57.44)

где ω0 - некоторая максимально возможная собственная частота осцилля-

тора.

Для определения ω0 заметим, что числа i, j,l в рядах (57.34), (57.38) могут рассматриваться как компоненты некоторого вектора в пространстве неотрицательных целых чисел. Тогда каждой из частот ωijl( s ) , ωijl( p ) может

быть сопоставлен вектор (i, j,l) . Если одна из компонент i, j,l вектора (i, j,l) принимает нулевое значение, то данному вектору может быть од-

нозначно сопоставлена квадратная ячейка единичной площади, расположенная в одной из координатных плоскостей i = 0 , j = 0 , либо l = 0 . Вы-

бор этой ячейки осуществляется из условия, что вектор (i, j,l) упирается

своим концом в ее вершину, наиболее удаленную от начала координат. Если же значения всех индексов i, j,l отличны от нуля, то каждому векто-

ру (i, j,l) может быть сопоставлен куб единичного объема при условии,

что конец указанного вектора упирается в вершину данного куба, наиболее удаленную от начала координат. Наглядно представить указанные ячейки и кубы позволяет рис.57.1.

Рис.57.1

Согласно оговоренному выше условию выбора минимальных частот (57.15) и первому из неравенств (57.44), концы всех векторов (i, j,l) , отве-

чающих ненулевым функциям Aijl (t) , должны располагаться в первом ок-

танте пространства индексов i, j,l	в пределах сферы радиуса
I p	=	ω0 L		.	(57.45)
		cp	π

Тогда число N p ненулевых гамильтонианов гармонических осцилляторов

в ряде (57.34) будет приближенно равно отношению объема октанта сферы радиуса I p к объему куба, равному единице:

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.04.201524.05 Кб20Картотечное описание ЛЮШЕРА.docx
#
18.04.2015169.98 Кб10Картотечное описание методики мпз .doc
#
18.04.201534.3 Кб15Картотечное описание методики САТ .doc
#
18.04.2015483.84 Кб794Кашлев С.С. Современные технологии....doc
#
18.04.2015100.35 Кб17квантовая механика.doc
#
18.04.2015933.9 Кб14Квантовая статистика ч3 - Сотский А.Б..pdf
#
20.11.2019356.86 Кб4ККР по ОТП.doc
#
18.04.2015955.53 Кб25Классическая статистика ч2 - Сотский А.Б..pdf
#
18.04.2015202.75 Кб27климова.doc
#
18.11.2019882.18 Кб1кника по ОТП.doc
#
22.03.2016187.39 Кб5КОДЕКС РБ об образВЫШКА.doc