Число степеней свободы

Прежде чем обратиться к таблице, необходимо определить число степенейсвободы(f). Этим термином обозначается число независимых величин, участвующих в образовании того или иного параметра:

 при вычислении средней арифметической число степеней свободы равно общему числу вариант (N)и поэтомуf=N.

 при вычислении дисперсии должно выполняться условие о том, чтобы сумма всех вариант отклонений от средней арифметической должна быть равна нулю

(8)

Поэтому число степеней свободы в этом случае будет равно общему числу величин, по которым вычисляется параметр, минус число условий, связывающих эти величины, то есть f=N-1. Именно поэтому, при вычислении среднего квадратического отклонения, сумму квадратов отклонений от средней арифметической делят на N-1.

 в формулу для вычисления критерия tвходят квадраты ошибок средней арифметической (m₁², m₂²), при вычислении которых число степеней свободы определяется как N-1 для каждого параметра. Отсюда общее число степеней свободы будет равноN₁+N₂-2.

Возвратимся к рассматриваемому примеру. После определения числа степеней свободы (f=10+10-2=18) по таблице 1 Приложений находим, что критическое значениеtпри 5-процентном уровне значимости (р=0,05) дляf=18 составляет 2,10. Так как полученноеt=2,28 и оно больше критического значенияt-критерия Стьюдента (t=2,10) для f=18, то можно утверждать, что различия между средними результатами изучаемых групп неслучайны. Такое заключение, в свою очередь, даёт основание сделать вывод о более совершенной методике построения тренировочных занятий в первой группе.

Коррелированные выборки

В педагогических исследованиях, довольно часто, необходимо определить достоверность различий между средними показателями одной и той же группы испытуемых, полученных в различное время (например, до и после педагогического эксперимента). Применять критерий Стьюдента, использовав его формульное выражение (7) для случая независимых выборок, нельзя, так как в обеих выборках участвуют одни и те же испытуемые и результаты исследований по окончании эксперимента сильно зависят от результатов исходных данных исследований. Такие выборки называют коррелированными. Критерий Стьюдента в случае коррелированных выборок вычисляется по формуле

(9)

где r– коэффициент корреляции между сравниваемыми группами по изучаемому признаку.

Для того чтобы не вычислять коэффициента корреляции и упростить вычисления можно использовать методику вычислений, предложенную в работе [1], основанную на определении разности между значениями признаков для каждой пары. По существу речь идет об определении статистически значимой достоверности в приросте результатов, определяемых как разность значений признака для каждой варианты (и в целом для всей выборки испытуемых) до и после педагогического эксперимента.

Рассмотрим последовательность выполнения необходимых операций на следующем примере. Предварительно введем обозначения для статистических параметров распределения:

- результат i-го испытуемого до начала эксперимента;

- результат i-го испытуемого после эксперимента;

- разность результатов у i-го испытуемого, определяемая по значениям, показанным после и до проведения эксперимента;

- средняя арифметическая разности (прироста) результатов педагогического эксперимента.

На группе из 16 студентов (N=16) была проверена эффективность новой методики развития силы и силовой выносливости с применением специальной аппаратуры (вибротренажёр). О результатах эксперимента судили по числу подтягиваний в висе на перекладине до начала и после окончания тренировочного периода (табл. 13).

Средняя разность () в нашем примере вычисляется следующим образом:

=(10)

Таблица 13.

Испытуе-	И с п ы	т а н и я	Р а	з н о с т	ь
мые
1	10	12	+2	+0,5	0,25
2	6	10	+4	+2,5	6,25
3	12	16	+4	+2,5	6,25
4	15	16	+1	-0,5	0,25
5	7	10	+3	+1,5	2,25
6	14	16	+2	+0,5	0,25
7	12	15	+3	+1,5	2,25
8	16	15	-1	-2,5	6,25
9	14	13	-1	-2,5	6,25
10	8	10	+2	+0,5	0,25
11	10	9	-1	-2,5	6,25
12	4	7	+3	+1,5	2,25
13	12	12	0	-1,5	2,25
14	10	13	+3	+1,5	2,25
15	5	8	+3	+1,5	2,25
16	17	14	-3	-4,5	20,25
N=16	 = 172	 = 196	 = +24	 = 0	 = 66,00
1	2	3	4= +1,5	5	6

В первой колонке таблицы 13 приведены порядковые номера испытуемых и их общее число (N=16).

Во второй и третьей колонках приведены результаты в подтягивании у испытуемых до эксперимента (колонка 2) и после эксперимента (колонка 3).

Результаты вычислений разности по каждой варианте до и после эксперимента, их суммы и средней арифметической разности (прироста) приведены в колонке 4.

В колонке 5 приведены отклонения каждой варианты (d_i) от средней разностью ().

И в колонке 6 дана сумма квадратов отклонений от средней разности.

Средний квадрат отклонений будет равен

. (11)

Среднее квадратическое отклонение соответственно равно

(12)

Определяем среднюю ошибку разности

(13)

Отсюда следует, что

(14)

По таблице 1 Приложений критическое значение tдля уровня значимости 0,05 при f=N-1=15, будет равняться 2,13, аt₀₁=2,95. Поэтому с вероятностью более чем в 95% можно утверждать, что изменения в количестве подтягиваний на перекладине являются неслучайными.