Билет №44

Общее уравнение линии второго порядка имеет вид

Если определитель то линия имеет единственный центр симметрии и называется центральной линией, а ее центр симметрии - просто центром. Остальные линии называются нецентральными. Примеры центральной линии - окружность, эллипс, гипербола, а нецентральной-парабола. Если уравнение (1) задает центральную линию, то можно осуществить параллельный перенос осей координат по формулам и , где , - координаты нового начала , являющегося центром линии. Они определяются из системы

В новой системе координат уравнение (1) примет вид

В результате параллельного переноса коэффициенты при старших членах не изменяются, а свободный член

т.е. свободный член равен результату подстановки в левую часть уравнения (1) вместо текущих координат x, y координат нового начала

Для дальнейшего упрощения уравнения (2) применим правило приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Если повернуть оси координат так, чтобы направление осей и совпадали с главными направлениями квадратичной формы, то уравнение примет канонический вид:

Где и - корни характеристического уравнения

, или

Если , то согласно теореме Виета, т.е. характеристические числа и отличны от нуля.

Возможны два случая.

1. Числа и одного знака, т.е. Если свободный член и его знак противоположен знаку чисел , , то уравнение (3) определяет эллипс. Если же знак члена совпадает со знаком чисел , , то уравнение не имеет геометрического смысла. При уравнение определяет одну точку и

2. Числа и имеют разные знаки, следовательно, В этом случае, если , то уравнение (3) определяет гиперболу, если же , то пару пересекающихся прямых.

Если , то уравнение (1) определяет нецентральную линию.

Так как , то хотя бы одно из чисел, равно нулю. Пусть, . Выполним поворот системы координат XOY так, чтобы направления новых осей и совпали с главными направлениями квадратичной формы старших членов уравнения (1). Тогда уравнение (1) в новой системе примет вид

Где ,

При исследовании геометрического смысла уравнения возможны следующие случаи:

1. коэффициент, тогда уравнение определяет параболу, ось симметрии которой параллельна оси

2. коэффициент , тогда уравнение определяет пару параллельных прямых (действительных, если, совпадающих, если , и мнимых, если )

Таким образом, уравнение (1) при определяет действительный или мнимый эллипс либо точку (0; 0); при - гиперболу или пару пересекающихся прямых, а при - параболу либо пару параллельных прямых (действительных, мнимых или совпадающих).

Билет №45

,

Если нормальный вектор плоскости – единичный,

гда уравнение плоскости можно записать в виде

ормальное уравнение плоскости).

• – расстояние от начала координат до плоскости, ,,– направляющие косинусы нормали

,,

Где – углы между нормалью плоскости и осями координат соответственно.

Общее уравнение плоскости (8) может быть приведено к нормальному виду умножением на нормирующий множитель, знак перед дробью противоположен знаку свободного членав (8).

Расстояние от точки до плоскости (8) находится по формуле, полученной подстановкой точки в нормальное уравнение

Билет №46

Общее уравнение плоскости

Где - нормальный вектор плоскости.

В векторном виде

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1) By + Cz + D = 0 - параллельна оси Ox;

2) Ax + Cz + D = 0 - параллельна оси Oy;

3) Ax + By + D = 0 - параллельна оси Oz;

4) Cz + D = 0 - параллельна оси Oxy;

5) By + D = 0 - параллельна оси Oxz;

6) Ax + D = 0 - параллельна оси Oyz;

7) Ax + By + Cz = 0 - проходит через начало координат;

8) By + Cz = 0 - проходит через ось Ox;

9) Ax + Cz = 0 - проходит через ось Oy;

10) Ax + By = 0 - проходит через ось Oz;

11) z = 0 - плоскость Oxy;

12) y = 0 - плоскость Oxz;

13) x = 0 - плоскость Oyz.

Общее уравнение плоскости:

Ах + Ву + Сz + D = 0 ,

где А, B и C не равны нулю одновременно.

Коэффициенты А, B и C являются координатами нормального вектора плоскости ( т.е. вектора, перпендикулярного плоскости ).

При А0,и B0, и C0, и D0 получаем уравнение плоскости в отрезках на осях:

где a = – D / A , b = – D / B, c = – D / C. Эта плоскость проходит через точки ( a, 0, 0 ), ( 0, b, 0 ) и ( 0, 0, с ), т.е. отсекает на осях координат отрезки длиной a, b и c

Билет №47

Билет №48

Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

Рассмотрим точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в общей декартовой системе координат.

Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М1, М2, М3 необходимо, чтобы векторы были компланарны.

() = 0

Таким образом,

Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

Билет №49

Пересечение 3х плоскостей в случае, когда никакие две из них не параллельны - точка. Запишем уравнения плоскостей в виде

N1 . p = d1

N2 . p = d2

N3 . p = d3

Здесь и далее, "." обозначает скалярное, а "*" - векторное произведение. Точка пересечения

d1 ( N2 * N3 ) + d2 ( N3 * N1 ) + d3 ( N1 * N2 )

P = -------------------------------------------------------------------------

N1 . ( N2 * N3 )

Заметим, что знаменатель равен 0, если какие-нибудь 2 плоскости параллельны. Если (N2 * N3) равно нулю, то параллельны вторая и третья. Если такого равенства нет, то (N2 * N3) дает вектор, перпендикулярный и N2 и N3. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны. Таким образом, если N1 . (N2 * N3) = 0, то вектор N1 совпадает с N2 или N3 ... Значит, плоскости параллельны - точки пересечения не существует.

Билет №50

Пусть Pa = (xa, ya, za) точка, расстояние от которой необходимо подсчитать.

Плоскость можно задать нормалью n = (A, B, C) и одной точкой Pb = (xb, yb, zb)

Произвольная точка P = (x,y,z) лежит на плоскости тогда и только тогда, когда

A x + B y + C z + D = 0

Наименьшее расстояние между Pa и плоскостью будет равно абсолютной величине выражения

Знак самого выражения дает расположение точки относительно плоскости: с какой она стороны.

Билет №51

Пусть в трехмерном пространстве в некоторой декартовой системе координат определены точка M0(x0 y0, z0) и вектор a = (l, m, n).

Прямая, проходящая через точку M0(x0 y0, z0), параллельно вектору a = (l, m, n), описывается в этой системе координат уравнениями

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки.

Билет №52

Билет № 53

Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения:

1:

2:

Угол между прямыми j и угол между направляющими векторами j этих прямых связаны соотношением: j = j1 или j = 1800 - j1. Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом:

Билет №54

Пусть в пространстве заданы две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х1 ¹ х2 и х = х1, если х1 = х2.

Билет № 55

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов и

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l1 параллельна l2 тогда и только тогда, когда s1 параллелен

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю:

Билет №56

Пусть в трехмерном пространстве заданы прямая, проходящая через точку M0(x0 y0, z0), параллельно вектору a = (l, m, n), и точка M1(x1 y1, z1), не лежащая на прямой.

Расстояние h от точки M1(x1 y1, z1) до прямой может быть вычислено по формуле

Билет №57

Пусть прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями

Их направляющие векторы соответственно и

Прямая L1 проходит через точку радиус-вектор которой обозначим через прямая L2 проходит через точку радиус-вектор которой обозначим через Тогда

Прямые L1 и L2 лежат в одной плоскости, если векторы , и компланарны. Условием компланарности векторов являтся равенство нулю их смешанного произведения:

При выполнении этого условия прямые L1 и L2 лежат в одной плоскости, то есть либо пересекаются, если либо параллельны, если

Билет №58

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости

Доказательство. Пусть а — данная прямая и — данная плоскость По аксиоме I существует точка А, не лежащая на прямой а. Проведем через прямую а и точку А плоскость ’ Если плоскость ’ совпадает с , то плоскость содержит прямую а, что и утверждается теоремой. Если плоскость ’ отлична от , то эти плоскости пересекаются по прямой а', содержащей две точки прямой а. По аксиоме I прямая а' совпадает с а, и, следовательно, прямая а лежит в плоскости

Билет №59

Определение. Цилиндрической поверхностью называется поверхность (рис. 18), образованная прямыми (образующими), параллельными некоторой данной прямой L и пересекающими данную линию С (направляющую).

Допустим, что направляющая С задана уравнениями

а образующая L задана уравнениями

где X, Y, Z - текущие координаты точек, принадлежащих образующим, т.е. цилиндрической поверхности;

x, y, z - координаты точек, принадлежащих направляющей С.

Если из уравнений (53) и (54) исключим x, y, z, то получим уравнение относительно переменных X, Y, Z, т.е. уравнение цилиндрической поверхности.

Заметим, что всякое уравнение вида

не содержащее координаты z, определяет цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz.