Вопросы для самопроверки.

1. Сформулируйте теорему о разложении многочлена на простейшие множители.

2. Что такое рациональная дробь? Что такое правильная рациональная дробь?

3. Изложите право разложения правильной рациональной дроби на простейшие в случае:

а) простых действительных корней знаменателя,

б) действительных кратных корней знаменателя,

в) когда среди корней знаменателя имеются пары простых комплексно-сопряжённых корней,

г) когда среди корней знаменателя имеются пары кратных комплексно-сопряжённых корней.

4. Поясните идею метода неопределённых коэффициентов.

5. Покажите, что

(6.3)

6. Вычислите

7. Интегрирование иррациональных7функций

Рассмотрим метод вычисления интегралов вида

(7.1)

где символ R означает рациональное выражение от аргумента, указанного в круглых скобках; - целые числа.

Здесь целесообразно воспользоваться подстановкой , где- общий знаменатель дробейиПри этом подынтегральное выражение приводится к рациональной функции от переменной

(7.2)

Рассмотрим теперь метод вычисления интегралов вида

(7.3)

Для дробно-рациональной функции введём обозначение

(7.4)

Тогда

(7.5)

Пример 1.

Пусть

Тогда

Пример 2.

Пусть .

В результате преобразования получим интеграл от рациональной дроби

Теперь рассмотрим метод вычисления интегралов вида

(7.6)

Здесь будем различать два случая: когда и

Случай 1 ().

Сделаем замену (подстановку) (7.7)

Тогда

Взаимно уничтожая в левой и правой частях равенства, получаем

(7.8)

Подставим выражение (7.8) для х как функцию в (7.7)

(7.9)

т.е. подынтегральная функция (и интегральное выражение) становится рациональной функцией относительно переменной t.

Случай 2 (). При этом квадратный трёхчленлибо отрицателен при всех значениях(в случае комплексных корней), либо имеет действительные корни.

В дальнейшем будем рассматривать только последний случай. Представим подкоренное выражение в следующем виде

Введём подстановку

(7.10)

После преобразований получим

Поставим в (7.10)

Таким образом, и в этом случае получена возможность рационального представления подынтегрального выражения через параметр

Пример 3 ().

Используем соотношения (7.8) и (7.9). Дифференцируя обе части выражения (7.8) получим

(7.11)

Подставляя (7.9) и (7.11) в исходный интеграл, получим

Окончательно

(7.12)

Вопросы для самопроверки.

1. Вычислите

2. Вычислите

3. Вычислите

4. Вычислите

5. Полагая в (7.12) ипокажите, что

(7.13)

8. Интегрирование тригонометрических выражений

Рассмотрим интеграл вида (8.1)

где - рациональная функция оти

В общем случае интеграл вида (8.1) всегда может быть приведен к интегралу от рациональной алгебраической функции с помощью универсальной тригонометрической подстановки

(8.2)

При этом

Так как то

Пример 1.

т.е. получили интеграл «арктангенсного» типа (см. (4.2)).

В некоторых случаях интегралы вида (8.1) берутся проще другими приёмами:

1. Если подынтегральная функция меняет свой знак при заменена, то подынтегральное выражение приводится к рациональной дроби подстановкойt = cos x

Пример 2.

2. Если при замене наподынтегральная функция меняет знак, то следует делать замену переменнойПример можно подобрать самостоятельно (или см. вопрос 5 для самопроверки).

3. Если при одновременной замене наинаподынтегральная функция не меняет знака, то следует делать замену переменной

Пример 3.

В итоге преобразований получили интеграл от рациональной дроби.

Прежде чем использовать вышеперечисленные способы интегриро-вания рациональных выражений от тригонометрических функций, имеет смысл попробовать преобразовать подынтегральную функцию с целью получения интегралов от более простых выражений.

Пример 4.

Пример 5.

В вычислении интегралов вида

подынтегральные произведения следует представить в виде сумм