§ 2. Пи-число в эпоху средневековья
Из многочисленных приёмов получения достаточно большого числа верных десятичных знаков для числа π имеет смысл указать наиболее удобный, предложенный Адрианом Антонисом в концеXVIвека [2; с. 61]:
π
≈
=
3,1415929…
Здесь верными являются шесть знаков после десятичной запятой.
Такое приближение легко запомнить. Эта дробь получится, если написать по два раза каждое из трёх первых нечётных чисел (1 1 3 3 5 5), а затем вторую тройку поместить в числитель, а первую – в знаменатель.
Весьма любопытен путь, которым Антонис пришёл к этому резуль-тату. Сначала он показал, что
3
<
π
< 3
или в десятичных дробях
3,141509… < π < 3, 141666…
Практически это на два порядка точнее, чем Архимедово приближение. Но Антонис, вопреки всем правилам арифметики, просто складывает числители и знаменатели обыкновенных дробей
и
и получает
=
Это – удивительно редкое явление, когда совершенно незаконный приём абсолютно случайно привёл к столь удобному для запоминания и вполне достаточному для большинства практических вычислений выражению числа π через обыкновенную дробь.
Имеет смысл отметить, что известное из математических справоч-ников Ме;´циево число – это и есть описанное выше соотношение. Просто Адриан Антонис – так на латинском языке звучала фамилия Антониеца – происходил из голландского города Мец. Отсюда и произошло название «Мециево число».
Приближённое значение числа π с точностью до 10-6 было известно в Китае уже вVвеке [6; с. 22]. А приближённое значение этого числа аж с 32 верными знаками было опубликовано в Европе в 1615 году голландским математиком Лудольфом Цеуленом (1540-1610). Впоследствии оно получило название по имени вычислителя «Лудольфово число» [5; с. 314] .
§ 3. Пи - число в XIX веке
В дальнейшем оказалось, что точное значение отношения длины окружности к диаметру (т. е. число π) не может быть записано в виде рациональной дроби, т.е. дроби, у которой числителем и знаменателем служат целые числа. Многочисленные исследователи предполагали, что числоπ можно написать в виде десятичной периодической дроби с большим (так называемым длинным) периодом. Так, например, английский математик Шенкс проделал титаническую работу и в 1873 году получил для числаπ 707 десятичных знаков [4; с. 179]. Такая точность далеко превосходит всякие практические надобности, но целью Шенкса был поиск периода, а он его не обнаружил10.
То, что число πявляется иррациональным числом (т.е. не может быть рациональным), было доказано в концеXVIIIвека И. Ламбертом11и А. Лежандром12. А в 1882 году Ф. Линдеман13доказал, что это число не может удовлетворять никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффици-ентами (т. е. не может быть корнем никакого такого уравнения) [6; с.129].
Числа, не являющиеся корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами, стали называть трансцендентными числами. Их оказалось очень много. В 1873 году Шарль Эрмит14 доказал трансцендентность числа е, а, как уже упоминалось, в 1882 году в работах Ф. Линдемана было выявлено, что трансцендентными являются число π и ln 2 и вообще все натуральные логарифмы алгебраических чисел [7; с. 587].