Матан / Второй блок вопросов.Аналитическая геометрия

Второй блок вопросов: «Векторная алгебра и аналитическая геометрия»

1. Векторы в и , геометрическая интерпретация. Линейные операции над векторами. Орт вектора. Углы вектора с осями координат. Условие коллинеарности векторов.

2. Скалярное произведение векторов (определение, формула для вычисления). Физический смысл скалярного произведения. Вычисление . Угол между векторами. Условие ортогональности векторов.

3. Векторное произведение векторов (определение, формула для вычисления). Геометрический и физический смысл векторного произведения.

4. Смешанное произведение векторов (определение, формула для вычисления). Геометрический смысл смешанного произведения. Компланарные вектора – определение. Условие компланарности трёх векторов.

5. Декартовы координаты. Полярные, цилиндрические, сферические координаты. Формулы перехода от одной системы координат к другой.

6. Преобразование декартовых координат при параллельном переносе и повороте осей.

7. Две основные задачи аналитической геометрии. Общий вид уравнения поверхности в пространстве, линии на плоскости, линии в пространстве. Параметрическое задание кривых и поверхностей.

8. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола (определения). Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы. Построение этих кривых в случае, когда они заданы каноническими уравнениями. Приведение уравнения к каноническому виду с помощью выделения полного квадрата.

9. Прямая на плоскости: различные виды уравнения прямой, геометрический смысл коэффициентов и в уравнении , угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых. Уравнения осей и на плоскости.

10. Плоскость в пространстве: уравнение плоскости, геометрический смысл коэффициентов , и в уравнении , угол между плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнения плоскостей , и .

11. Прямая в пространстве: каноническое уравнения прямой, геометрический смысл констант в каноническом уравнении, угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых. Уравнения осей , и .

12. Угол между прямой и плоскостью. Точка встречи прямой и плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

13. Построение кривых и поверхностей на плоскости и в пространстве (на примерах).

• Построить на плоскости вектор в трёх вариантах: начало вектора находится соответственно в точках , , .

• Заданы координаты вершин : , , .

Найти:

– площадь треугольника; – длину стороны ; – уравнение стороны ; – ;

– уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно пл.;

– уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно пл..

Проверить, проходит ли плоскость через начало координат.

• Заданы уравнения трёх плоскостей:

Определить, есть ли среди этих плоскостей: параллельные? перпендикулярные? Определить характер пересечения этих плоскостей: пересекаются в одной точке (указать координаты точки)? имеют общую прямую? не имеют общих точек?

Найти:

– уравнение линии пересечения плоскостей и ; координаты каких-нибудь трёх точек на этой линии.

– косинус угла между плоскостями и

• Построить область ограниченную линиями (координаты цилиндрические). Записать уравнения линий в декартовых координатах.

• Вектор лежит на прямой, проходящей через точки и направлен от к , . Найти момент вектора относительно начала координат и его моменты относительно осей .

• Построить (по точкам) линию, заданную уравнением в параметрической форме: .

• Найти уравнение прямой, проходящей через точки , . Найти координаты ещё какой-нибудь точки, лежащей на этой прямой.

• Построить линию . Записать уравнение этой линии в полярных координатах.

• Построить линию , приведя её уравнение к каноническому виду.

• Построить линии на плоскости: , , , , , .

• Построить области, ограниченные поверхностями: , .

• Найти координаты точки в сферической и цилиндрической системах координат.

• В сферической системе координат задана точка . Найти декартовы и цилиндрические координаты этой точки.

• Построить линии в пространстве: (координаты цилиндрические) и (координаты сферические).

• Примеры из «Сборника задач по аналитической геометрии» (автор Д.В. Клетеник), номера 785, 756, 777, 778, 817, 838, 853, 857, 860, 874, 876, 454, 471, 541, 597, 916, 924, 925, 929, 930, 947, 1007, 1011, 1010, 1023, 1040, 1042, 1043, 266, 247, 239.