Матан / Третий блок вопросов
.docДифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных.
-
Множества. Операции с множествами. Числовые множества. Точка сгущения числового множества. Изолированная точка числового множества. Замкнутые множества. Функция на числовом множестве. Область определения и изменения функции.
-
Окрестность точки , проколотая окрестность , правая окрестность , левая окрестность . Окрестность бесконечно удалённой точки , , .
-
Предел функции: определение и графическая иллюстрация. Теоремы о пределах (теоремы о пределе суммы, произведения, теорема о переделе сжатой переменной и т.п.). Понятие неопределенности, список неопределённостей. Односторонние пределы.
-
Раскрытие некоторых неопределённостей с помощью алгебраических преобразований (на примерах).
-
Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.
-
Бесконечно малые и бесконечно большие функции (определение). Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций (эквивалентные функции, функции одного порядка, порядок одной функции относительно другой и т.п.). Главная часть б.б. и б.м. функций.
-
Теорема о замене функции на эквивалентную под знаком предела. Таблица эквивалентных функций. Раскрытие неопределённостей с использованием эквивалентных преобразований (на примерах).
-
Непрерывность функции в точке, определение. Точки разрыва и их классификация. Непрерывность функции на .
-
Приращение функции в точке. Определение производной. Геометрический смысл производной. Таблица производных. Правила дифференцирования (производная суммы, произведения, производная сложной функции и т.п.).
-
Дифференциал: определение, необходимое и достаточное условие существования, формула для вычисления, геометрический смысл. Инвариантность формы первого дифференциала.
-
Производные и дифференциалы высших порядков.
-
Правило Лопиталя.
-
Условия монотонности функции. Экстремум функции (определение, необходимое условие существования, достаточное условие существования).
-
Выпуклые и вогнутые функции (определение, достаточное условие выпуклости или вогнутости). Точки перегиба.
-
Асимптоты графика функции (определение, алгоритм нахождения).
-
Общая схема исследования функции и построения ее графика. Построение графика (на примерах).
-
Параметрические заданные функции, их производные.
-
Функция нескольких переменных на множестве . Частные производные: определение, вычисление. Дифференциал (определение, необходимое условие существования, формула для вычисления, инвариантность формы первого дифференциала).
-
Сложные функции. Производные сложных функций.
-
Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формальный оператор и его использование при вычислении дифференциалов высших порядков.
-
Экстремум функций нескольких переменных, определение. Необходимое условие существования экстремума. Достаточное условие существования экстремума.
-
Формальные дифференциальные операторы и . Вычисление , , , (на примерах).
-
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Образцы стандартных примеров по разделу Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных:
-
Найти : , ,
-
Найти : ; . , .
-
Найти
-
Найти , и т.п., если или .
-
Найти , если .
-
Найти , если или и т.п.
-
Вычислить, не пользуясь правилом Лопиталя: .
-
Вычислить (в случае необходимости использовать правило Лопиталя).
; ; ; ; .
-
Построить график функции .
-
Найти экстремумы функций: ; ; .
-
: . Найти и т.п.
-
Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .
-
. Найти . Найти в точке , если . Изобразить и на плоскости.
-
Найти экстремумы функции .
-
. Найти , .